不同二元Copula的尾部特性

上面只给出了几种不同二元Copula函数的定义及表达式，但是对其各自的性质以及应用的领域等方面的内容并没有具体给出。为了接下来更好地利用上述二元Copula来对内外部欺诈间的相关关系进行度量，下面对上述各二元Copula的性质，特别是尾部性质等方面的内容进行说明。

首先，如上所述，根据二元正态分布函数的性质和二元t分布函数的性质可知，二元Gauss Copula在尾部相关性的刻画上与二元t Copula相比更弱。二元t Copula相对于二元Gauss Copula来说，厚尾相关性更强。下面通过Gauss Copula、t Copula、Gumbel Copula以及Clayton Copula四种不同二元Copula函数的模拟散点图、Copula密度函数的3D透视阴影图及密度等高线图等几种不同的图形对比来对这几种不同二元Copula函数的特点、性质及其应用进行说明。图5-1分别给出了对四种不同二元Copula进行模拟得到的散点图，按照从左到右、从上到下的顺序，各散点图对应的Copula种类在每幅图下都有标出，其中，Gauss Copula的参数为μ=（0，0），ρ=0.7，Gumbel Copula的参数为θ=2，Clayton Copula的参数为θ=2.2，t Copula的参数为ν=4，ρ=0.71，且每种Copula的散点图是由模拟得到的20000个随机点组成的。

图5-1　四种不同Copula的模拟散点图

由图5-1中给出的散点图可以大致上看出不同二元Copula函数的分布状况的不同，但是比较难从这些散点图中看出显著的差别，以及各不同Copula的分布特点。因此，下面利用标准正态分布的分位数函数对上述几种不同二元Copula散点图中的每个随机点的分量进行转换，使得每个二元Copula散点图中的随机点的边际分布函数为标准的正态分布函数。由此，即可得到经过转换后边际分布函数为标准正态分布、各参数不变的上述四种二元Copula的新的随机点。利用这些新的随机点，得到新的散点图，如图5-2所示。

图5-2　对图5-1中各Copula的模拟随机点进行转换后得到的边际分布为标准正态分布的散点图

图5-2中从左到右、从上到下分别对应的是二元Gauss Copula、二元Gumbel Copula、二元Clayton Copula以及二元t Copula经过转换后的边际分布函数为标准正态分布的散点图。各二元Copula的参数与图5-1中的参数相同。由这些参数的值可知，图5-2中Gauss散点图中的各随机点可以看成是由相关系数为70%的标准双变量正态分布产生的随机点，根据前面介绍的Sklar定理可得，另外三个散点图中的随机点可以看成是由边际分布函数为标准正态分布的特殊的双变量分布产生的。另外，在对各随机点的分量进行转换的过程中，原二元Copula的参数并未改变，且在对这些参数的选择上，保证了所有二元分布的线性相关系数均大约为70%，以便对各散点图的对比更具有说服力。根据前面对各参数的选择，图5-2中Gumbel散点图的各随机点的分布函数为，其中θ=2。由该散点图可以看出，Gumbel Copula使得该分布函数具有上尾部相依的特性。也就是说，若随机向量（X1，X2）服从上述分布，则当X1的取值为极大值时，X2也以很大的概率取极大值，反之亦然。因此，在上述情况下当随机变量X1，X2表示金融损失变量时，需要引起格外的注意。由图5-2中的散点图可知，Clayton Copula具有下尾部相依的特性，即若随机变量（X1，X2）的分布函数与图5-2中Clayton散点图的各随机点的分布函数相同，则当随机变量X1的取值为极小值时，变量X2也以极大的概率取极小值，反之亦然。在这种情况下，若随机变量X1，X2分别表示金融收益相关的随机变量时，需特别注意。图5-2中t散点图的分布形态表明t Copula既具有上尾部相依又具有下尾部相依的特性，而与之相反的是，Gauss Copula上尾部和下尾部均不相依。这一点也可以通过图5-2中的Gauss散点图看出。

虽然图5-1和图5-2给出了Gauss Copula、Gumbel Copula、Clayton Copula以及t Copula四种二元Copula函数的模拟随机点散点图，以及对这些模拟随机点的分量进行转换后得到的边际分布函数为标准正态分布的新的随机点的散点图。且根据这些散点图，对不同的Copula函数特性进行了分析。为了对上述几种Copula的分布特性以及性质进行更直观、清晰的说明，下面分别给出上述几种二元Copula密度函数的3D透视图和等高线图。其中，各Copula的参数与散点图的参数相同，即Gauss Copula的参数为μ=（0，0），ρ=0.7，Gumbel Copula的参数为θ=2，Clayton Copula的参数为θ=2.2，t Copula的参数为ν=4，ρ=0.71。四种二元Copula密度函数的3D透视图分别如图5-3、5-4、5-5、5-6所示，四种二元Copula密度函数的等高线图如图5-7所示。

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图5-3　二元Gauss　Copula密度函数的3D透视图

图5-4　二元Gumbel　Copula密度函数的3D透视图

图5-5　二元Clayton　Copula密度函数的3D透视图

图5-6　二元t　Copula密度函数的3D透视图

图5-7　四种不同二元Copula密度函数的等高线图

图5-7中，从左到右、从上到下分别为Gauss Copula密度函数的等高线图、Gumbel Copula密度函数的等高线图、Clayton Copula密度函数的等高线图以及t Copula密度函数的等高线图。由几种不同二元Copula密度函数的3D透视图和等高线图可以更加直观地看出，Gauss Copula对尾部相关性的刻画最不明显，而其他三种二元Copula均能较好地对尾部相关性进行刻画，只是每种Copula对尾部相关性刻画的特点不同。其中，t Copula对具有对称性的尾部相关关系刻画得比较好，而Gumbel Copula和Clayton Copula则分别对上尾部相关关系和下尾部相关关系刻画得比较好。因此，在实际应用中应该根据这些不同二元Copula的不同性质，以及所研究内容的数据特点选择合适的Copula函数。