基于二阶近似的分布函数求解方法

上述两种方法都是在一阶近似的基础上对分布函数进行求解的。尽管均值修正对最开始的基于一阶近似的方法进行了改进，但是这两种方法下估计值与真实值之间的偏差仍然较大，因为一阶近似只选取了分布函数估计值中的一次项作为整体分布函数的值，而舍弃了后面的高次项。虽然这些被舍弃的高次项对整个数值的贡献不大，但它们仍然存在。因此，为了使得估计的结果更加精确，本节在对分布函数的估计过程中，利用Omey和Willekens（1986，2006）给出的有关指数分布二阶特点的内容，提出了基于二阶近似的分布函数的求解方法。该方法在不考虑内外部欺诈间相关关系的操作风险研究中，也可用来对操作风险的VaR值进行求解。

根据Omey和Willekens（1986，2006）的内容以及前面对各变量及其分布函数的介绍，若随机变量N1，N2的矩生成函数和p2（z）在z=1处解析，且分布函数F1（x）和G1（y）的密度函数f1（x）和g1（y）均为正则变换函数，记为。其中，α1，α2分别为f1（x）和g1（y）的正则变换指数。

设α1=α2=1，则有

即在分布函数F1，G1和随机变量N1，N2分别满足上述条件的情况下，有(www.xing528.com)

由此即可得到内部欺诈总体损失和外部欺诈总体损失分布函数的近似解析解分别为：

再利用内外部欺诈欺诈间的相关关系得到最终的操作风险的值。将上述分布函数的估计值与内外部欺诈间的相关关系结合起来的具体方法和步骤将在下面的章节中给出。

上面的内容对一般情况下操作风险总体损失分布函数的求解方法进行了介绍，在不将总体操作风险按照操作风险事件类型进行分类的情形下，上述方法都可以作为对总体操作风险VaR值进行求解的方法。其中，基于一阶近似和均值修正模型的分布函数求解方法是对已有方法的介绍，而基于二阶近似的分布函数求解方法是本文在已有的关于次指数分布性质研究结果的基础上提出的，该方法在接下来的研究中还会用到。下面介绍在考虑内外部欺诈间相关关系的基础上，对总体的操作风险进行度量的方法和步骤。