模拟算法的收敛性：相关研究成果

在利用收集到的数据进行实证分析时，由于上述算法中用到的｛Xi，i=1，…，N｝的分布函数是未知的，因此利用这种算法进行实证分析时往往是用其经验分布函数来代替实际分布。这就需要在用经验分布代替真实分布的条件下对算法3.1的收敛性进行证明，证明结果如下。

引理3.5.1　对i=1，…，n，令Yi为具有连续分布函数Fi的随机变量，且由Yi产生m个独立的随机数。用Gmi表示这些随机数的经验分布函数，则当m→∞时，有。

证明　由茆诗松（2006）可知，对∀x∈［0，1］，。则，也就是说，对∀x∈［0，1］，＞ε］=0。

令。由于对∀x∈［0，1］均有｜am（x）｜≤1成立，

且，故由控制收敛定理可得

即

其中，X是［0，1］上均匀分布的随机变量，且与相互独立。

由以上结果可知，对标准均匀分布的随机变量X来说，当m→∞时，。令X=Fi（Yi），则有。因此，当m→∞时，有

引理3.5.2　X为连续随机变量，｛Xn｝为随机变量序列。若X，则VaRα（Xn）→VaRα（X）。

证明　令an=VaRα（Xn），a=VaRα（X）。利用反证法，若该结论不成立，则可以找到一个子序列满足或者对某个ε＞0成立。在满足的情况下，可得

令k趋向于∞，则有(www.xing528.com)

进一步可得，这与事实不符。

在满足另外一种情况下，有

令k趋向于∞，则有

这与不相符。

综上所述，该结论是成立的。

定理3.5.1　算法3.1中由｛sj，j=1，2，…，M｝得到的模拟Va R的值收敛于S的真实VaR的值，即Va Rα（SM）→VaRα（S），其中，SM=｛sj，j=1，2，…，M｝。

证明　由引理3.5.1和引理3.5.2可得

其中，Fi（Xi）是Xi的分布函数。上式即为Va Rα（SM）→VaRα（S）。

证毕。