混业经营下金融风险度量研究：基本工具和方法

在上述聚合风险分布函数上下界的表达式中以及对其进行求解的过程中，Copula函数起着重要的作用。作为聚合风险度量的一个重要工具，Copula函数主要用来对相依风险因子之间的相依关系进行度量，对其定义和相关性质的介绍如下。这些定义及相关性质主要来自于Mc Neil等（2005）。

定义3.2.1　边际分布函数为标准均匀分布的［0，1］d上的分布函数C（u）=C（u1，…，ud）即为d维Copula函数。

将C写成映射的形式即为：C：［0，1］d→［0，1］，且该映射需满足下列性质：

（1）C（u1，…，ud）对每一个分量ui是递增的；

（2）C（1，…，1，ui，1，…，1）=ui对所有的i∈｛1，2，…，d｝，ui∈［0，1］都成立；

（3）对所有满足ai≤bi的（a1，a2，…，ad）以及（b1，b2，…，bd）都有下式成立：

其中，uj1=aj，uj2=bj（j∈｛1，…，d｝）。

在Copula函数的相关性质中，最重要的就是1959年提出的Sklar定理。正是由于该定理的存在，才使得Copula函数在多元随机变量分布函数的研究中得到了广泛的应用。

Sklar定理的主要内容为：若$F$为边际分布函数分别为F1，F2，…，Fd的联合分布函数，则存在某个Copula函数C：［0，1］d→［0，1］，使得对所有上的x1，…，xd，都有(www.xing528.com)

成立。若边际分布函数为连续的，则C是唯一的；否则，C在Ran F1×Ran F2×…×Ran Fd上是唯一确定的。其中，）表示分布函数

对∀u∈［0，1］d成立。其中，Frechet上下界分别用M（u1，u2，…，ud）和W（u1，…，ud）表示。由已有的研究成果可知，Copula函数的Frechet上下界作为两个特殊的Copula函数在对多元随机变量之间的相依关系进行解释时，具有重要的作用。根据Copula函数的定义，不同的Copula函数所描述的多元随机变量中各分量之间的相依关系不同，下面给出本章会用到的几种比较常见的Copula函数。

（1）表示独立Copula（independent Copula）。由Sklar定理可知，分布函数为单变量连续分布函数的各随机变量之间相Fi的取值范围。反之，若C为一个Copula函数，F1，…，Fd为单变量分布函数，则由上式定义的函数F为边际分布函数为F1，…，Fd的联合分布函数。对该定理的证明在很多与Copula函数相关的文献中均有比较详细的介绍，这里就不再赘述。

Sklar定理主要表达了两个方面的意思。一是所有的多元随机变量分布函数均可以写成Copula函数的形式。二是Copula函数可以与单变量分布函数结合起来，构建边际分布函数为任意单变量分布的多元随机变量分布函数。根据Sklar定理，可以定义联合分布函数F（或者随机向量X）的Copula函数如下。

定义3.2.2　若随机向量X的联合分布函数为F，边际分布函数为F1，…，Fd，则联合分布函数F（或随机向量X）的Copula函数为（F1（X1），…，Fd（Xd））的分布函数C。

此外，根据Copula函数Frechet界的定义，对于任一Copula函数C（u1，…，ud）（其中，ui，i=1，2，…，d为［0，1］上均匀分布的随机变量）来说，都有互独立的充分必要条件是其相依结构可以用该式表示出来。

（2）上式中的Frechet上界为共单调Copula（Comonotonicity Copula），表示为M（u1，u2，…，ud）=min｛u1，u2，…，ud｝。随机变量间的相依结构可以用该Copula函数表示的充分条件是这些随机变量具有连续的单变量分布函数且完全正相依，即满足Xi=Ti（X1），i=2，…，d。其中，Ti（i=2，…，d）为几乎处处严格单调递增的函数。

（3）与共单调Copula的定义类似，上式中的Frechet下界为反单调Copula（Countermonotonicity Copula），表示为W（u1，u2）=max｛u1+u2-1，0｝。但是，与共单调Copula不同的是，上述反单调Copula的定义只在d=2时才有意义，因为当d≥3时，上述表达式不一定满足Copula函数定义的条件。若随机变量X1、X2的分布函数连续且是完全负相关的，即X2几乎处处是X1的一个严格单调递减函数，则它们之间的相依结构就可以用该Copula函数来表示。