风险度量工具和方法研究混业经营下金融风险度量的数学描述

在用数学的方式对本章研究的问题进行描述之前，先给出聚合风险的数学表达式。聚合风险由Ψ（X）表示，其中，X=（X1，X2，…，Xd）表示由d个基础风险因子组成的d维随机向量，可测函数Ψ：ℝd→ℝ表示聚合算子。最近几年，有关聚合风险度量的研究有很多。就如前面所说，根据聚合风险的概念以及混业经营下金融主体所经营和拥有的基础金融产品的特征，也可以将混业经营下的市场风险看成是聚合风险，并利用聚合风险的表达方式对其进行表示。从另外一个角度来说，根据上述聚合风险的数学表达式，当聚合算子时，聚合风险可以看成是各基础风险因子的和。因此，令X=（X1，X2，…，Xn）表示n个基础风险因子组成的随机向量，这里的基础风险因子可以看成是混业经营下金融机构或者金融主体所经营和拥有的各基础金融产品的收益率。即X1，X2…，Xn表示n个基础风险因子，也即n个基础金融产品的收益率。S=X1+…+Xn是这n个基础风险因子的和，即各基础金融产品的聚合风险，也即本章要研究的混业经营下的市场风险。由此可知，本章对混业经营下市场风险的度量也可以看成是对聚合风险S=X1+…+Xn的求解。由于VaR是本文风险度量的工具，因此，根据前面给出的置信水平为α的VaR的定义可知，风险变量S的VaR值即为其分布函数的分位数，要得到聚合风险S的VaR值，只需求出其分布函数即可。因此，令

其中，CX是X=（X1，X2，…，Xn）的Copula函数，C表示所有可能的Copula函数的集合。m+（s）及M+（s）分别表示基础风险因子组成的向量X=（X1，X2，…，Xn）的边际分布函数已知，X1，X2，…，Xn之间的相依结构未知的情形下，聚合风险S的分布函数的下界和上界。有关多元随机变量的Copula函数定义以及Copula函数的定义和性质将在后面给出比较详细的介绍。(www.xing528.com)

根据VaR的定义可知，只要能求出m+（s）及M+（s）的值，就可以得到聚合风险S VaR值的范围。因此，对这两个分布函数界的求解成了对聚合风险进行求解的主要研究方向和内容，也是本章对混业经营下市场风险进行度量的主要研究内容。也就是说，本章要研究的是各基础风险因子X1，X2，…，Xn（即各基础金融产品的收益率）的分布函数已知，但其相互之间的相依结构未知的情形下，聚合风险（也即各基础风险因子和）S=X1+X2+…+Xn的分布函数的界m+（s）及M+（s）。由于对M+（s）进行求解的方法与对m+（s）进行求解的方法类似，因此，本文只给出对m+（s）进行求解的方法，依照类似的原理和方法步骤即可得到M+（s）的值。