混业经营下风险度量的基本工具和方法

我们首先给出该方法最一般的形式，在这种最一般的形式中，方差—协方差法可能会根据其对某些主要输入信息的估计过程的不同而成为非条件方法或条件方法。假设风险因子变化Xt+1的分布为多元正态分布（非条件的或条件的），即Xt+1～Nd（μ，Σ），其中μ表示对应分布的均值向量，Σ表示对应分布的协方差（或方差—协方差）矩阵。

假设风险因子的线性化损失是相对于实际损失来说足够精确的一个近似值，这样问题就可以简化为讨论）的分布，其中定义在前面的章节中已经给出。线性化损失算子是具有以下结构的一个函数

其中ct和bt是在t时刻已知的常数和常数向量。对于具体例子来说，考虑损失算子形式为的一个股票交易组合，其中，ωt表示的是t时刻交易组合的权重向量。

多元正态分布的一个重要性质使得上述Xt+1的线性函数具有单变量正态分布。由随机向量线性组合的均值和方差的一般性质可得，

由此，即可根据前面案例中的式子很快计算出该损失分布的VaR及预期亏损值。

在实际应用中，我们需要根据风险因子变化的历史数据Xt-n+1，…，Xt来估计μ和Σ。若我们简单地由样本均值向量及样本协方差矩阵来估计μ与Σ的值，那么这就相当于在风险因子的变化为平稳序列的隐含假设前提下，对非条件损失分布进行分析。

若将数据看成是来源于某个多元时间序列，且假设Nd（μt+1，Σt+1）（其中，μt+1和Σt+1表示到时刻t为止所有信息已知的条件下，分布的条件均值和条件协方差矩阵），则该方法就变成了与条件分布相关的方法了。我们用预测的方法得到这些矩的估计值来代替（2.3.2）中的值。这可能会涉及时间序列模型的估计方法，如多元GARCH模型，及基于模型的预测方法的运用。或者在J.P.摩根的Risk Metrics中广为使用的指数加权移动平均（EMMA）方法的使用。(www.xing528.com)

该方法有以下缺点。方差—协方差法给风险度量问题提供了一个简单的分析方法，但它是以两个粗糙的、简化的假设条件为前提的。第一，在前面的章节中已经提到过，真实损失分布与风险因子变化之间并非呈线性关系。第二，对于日数据来说，对其风险因子的变化服从正态分布的假设显然是不现实的，且这种假设对于周数据甚至是月数据也有可能是不合理的。金融实证分析中的事实表明，金融风险因子收益的分布相对于高斯分布来说往往都是尖峰厚尾的。这说明对风险因子服从高斯分布的假设将会低估损失分布的尾部及基于该尾部的风险度量（如VaR和ES）的值。

该缺点在方差—协方差法作为与条件分布相关的方法时同样存在。即使用确定的时间序列来对收益数据进行建模，大多数分析仍表明，在给定到现在时刻为止所有信息的条件下，下一时间段风险因子变化的条件分布并不服从多元高斯分布，而是边际分布具有厚尾特性的某种分布。换句话说，时间序列模型的更新分布相对于正态分布来说，是一种厚尾分布。

该方法扩展如下。该方法的便利性体现在多元高斯向量的线性组合服从单变量高斯分布。然而，还有很多其他的多元分布族在线性算子下也具有封闭性，因此，方差—协方差法对于这些类型的分布族也是适用的。如多元t分布和多元广义双曲线分布等。

下面我们来看这样一个例子。假设用服从多元t分布的随机向量Xt+1～td（ν，μ，Σ）来对风险因子的变化（无论是非条件的还是条件的）进行建模，则有

且可由式（2.2.5）和（2.2.9）计算得到其风险度量的值。