VaR的定义与计算方法

风险价值（VaR）可能是金融机构在风险度量的过程中使用得最广泛的方法，并且它也包含在BaselⅡ的资本充足框架中，因此它值得被广泛地探讨。下面我们对VaR的相关概念进行介绍，并围绕相关的实际问题进行讨论。

考虑由风险资产组成的某交易组合及一个确定的时间范围Δ，用FL（l）=P（L≤l）.表示对应损失分布的分布函数。我们不区分L和LΔ或条件损失分布与非条件损失分布，而是假设在分析伊始就已经做出了选择，且FL表示利率的分布。我们想要定义一个基于FL的统计数据用来度量在时间范围Δ内交易组合的风险。一个很理所当然的选择就是最大可能损失，表示为inf｛l∈ℝ：FL（l）=1｝，它是再保险中一项重要的风险度量工具。然而在许多利率模型中FL的支撑是无界限，这就导致最大损失为无穷值。不仅如此，最大损失也忽略了FL的任意概率信息。风险价值（VaR）是考虑了最大损失的这些缺陷后，在其基础上的一个简单扩展。其中心思想是将“最大损失”替换为“不超过给定的某个较大概率的最大损失”，也就是所谓的置信度。

定义2.2.1（风险价值）　给定某个置信水平α∈（0，1），则置信水平为α的交易组合的VaR就是使得损失L大于l的概率不超过（1-α）的最小的l值。用公式表示为：

用概率学术语来说，VaR就是简单的损失分布的分位数。α的值通常取0.95或0.99；在市场风险管理中时间范围Δ通常取1到10天，在信用风险管理和操作管理风险中Δ通常取一年。注意到根据定义，置信水平α下的VaR并不能给出以小于1-α的概率发生的损失大小的任何信息。这显然是VaR作为风险度量的一个缺点，后面的部分将会用实例来说明这个问题。

注2.2.1（均值VaR）　用μ表示损失分布的均值。在某些情况下，我们用代替VaR来对资本充足率进行计算。如果时间范围Δ为一天，那么一般称为日风险收益。VaR与的区别在市场风险管理中不明显，因为市场风险管理中时间范围短且μ接近于零。但在信用风险管理中由于时间范围较长，所以其区别也比较明显。特别地，在贷款定价中通常运用确定作为缓冲的经济资本，以便应对贷款交易组合可能的意外损失。在日益成长的资产风险管理领域中，考虑盈亏（P&L）分布的期望也是非常重要的。

由于分位数在风险管理中的重要性，下面我们来回顾一下它的准确定义。

定义2.2.2（广义反函数及分位数函数）

（i）对给定的递增函数T：ℝ→ℝ，其广义反函数为T←（y）：=inf x∈ℝ：T（x）≥y，按照惯例空集的下确界记为∞。

（ii）对给定的分布函数F，其广义反函数F←称为F的分位数函数，对α∈（0，1），F的α分位数为

qα（F）：=F←（α）=inf｛x∈ℝ：F（x）≥α｝.(www.xing528.com)

对分布函数为F的随机变量X，我们通常用符号qα（X）：=qα（F）表示。若F连续且严格递增，则qα（F）=F-1（α），其中，F-1是F的一般反函数。为了计算更一般情形下的分位数，我们需要用到以下引理。

引理2.2.1　点x0∈ℝ是某个分布函数F的α分位数当且仅当其满足以下两个条件：1）F（x0）≥α；2）对所有的x＜x0，F（x）＜α。

由广义反函数的定义及F的右连续性很容易得证该引理。

例2.2.1（正态分布以及t分布的VaR）　假设损失分布FL为正态分布，均值为μ，方差为σ2。则对于固定的α∈（0，1），有：

其中，Φ表示标准正态分布的分布函数，Φ-1（α）表示Φ的α分位数。证明很简单：由FL严格单调递增，根据引理2.2.1，我们只需要证明FL（VaRα）=α。而

该结果经常在方差协方差法（也称为delta正态法）中被用来计算风险度量的结果，关于这一点会在后面详细介绍。若处理的是线性化损失且假设风险因子的变化服从多元正态分布，则得到的损失分布为正态分布，此时即可用上面的式子计算出VaR的值。

当然对于任何位置-尺度分布族来说都会得到相似的结果，另一个例子就是学生t损失分布。假设损失L的变式（L-μ）/σ服从自由度为ν的标准t分布（对于这种损失模型，我们用L～t（ν，μ，σ2）来表示），则当ν＞2时，其各阶矩分别为E（L）=μ，var（L）=νσ2/（ν-2）。显然，σ不是该分布的标准差。由此可得：

其中，tν表示标准t分布的分布函数，大多数统计计算软件包中都提供了该函数以及其反函数的相关程序。