他想，如果你能从某些前提出发证明这句话是对的，那你就得承认这句话是不能证明的，你就陷入了矛盾。
如果你能从某些方面出发证明这句话不对，那你就承认这句话是可以证明的，你怎么又能证明它是错误的哩！
可见，从任何前提出发，你既不可能证明这句话是对的，也不可能证明这句话是错的。
经过许多耐心细致的推演，哥德尔证明了他的定理。
哥德尔的定理，不但宣告了把数学彻底形式化的企图是不可能的，而且开创了一条新路，来证明数学中的不可能问题。在这方面的新的成果之一，是解决了有名的希尔伯特第十个问题。
1900年，希尔伯特给20世纪的数学家提出了23个数学问题，其中第十个问题是：
能不能找到一个办法，用这个办法，可以判断任何一个不定方程有没有整数解。
这个问题的答案是“不可能”。大概正是因为它的答案是不可能，才使它很难解决，以至于花了70年的时间。
在解决这个问题的时候，需要掌握从一些已知的数出发，进行各种各样的计算所可能得到的一切结果的总和。
一个可以得到结果的计算过程，叫做一个算法。比如整数的加、减、乘、除，是算法；求最大公约数、最小公倍数，是算法。但是，我们没有分解因式和证明几何定理的算法，所以不能按照某个固定的办法去解决这些问题。
第十个问题的意义就是要找到一个算法，而对它的回答是“不可能”。
数学上的不可能问题还有许多，不过大都十分艰深。有的问题，把它说明白就得写上许多页。
这些不可能问题，分别属于不同的数学分支。但是现代数学中最关心的，是几个互相有关的分支，它们是数理逻辑、算法理论、递归函数论、自动机理论、形式语言学，等等。这反映了电子计算机的发明和广泛应用，给人们开辟了解决各种疑难问题的新的前景。除了努力解决这些疑难问题之外，数学家还要关心一个非常严肃的问题：电子计算机能解决的问题的界限在哪里？
人们越来越发现，不是有了电子计算机就万事大吉了，还有许多问题不能用电子计算机解决。我们永远不能把所有的问题都交给电子计算机去解决，而自己躺下来睡觉。我们总要继续研究，有所发明，有所创造。数学是一个等待人们去不断探索的领域。
名师导读
在象征人类智慧的围棋比赛中柯蓝不敌阿尔法狗，人机大战，又一次以AI（人工智能）的胜利告终。机器将替代人类的担忧言论再次开始扩散，在各种科幻电影中机器人统治宇宙的情节也一再出现，到底人工智能会发展到什么程度？人类会不会被AI替代或被AI统治？(www.xing528.com)
不会，这个答案不仅仅是源自人类的自信，更有据可寻。在马教授的书里就有这样的佐证——哥德尔的胜利！希尔伯特学派认为一切事物都可以形式化、数学化，将逻辑推理推崇到了极高的地位，然而哥德尔的发现，打破了希尔伯特学派的理论。哥德尔认为：数学的任务不能只是逻辑推理，必须对外界进行观察，用新的发现丰富数学；而新的发现，是不能从原有的数学知识证明的。众所周知AI（人工智能）的优点是，它储存了大量已有的数据和算法，可以在短时间内完成大量逻辑推理和计算，却缺乏独立观察和发现的功能。观察和发现，这正是人类的优势。
因而我们应扬长避短，发展观察能力、发现问题和提出问题的能力，进而才能分析问题和解决问题。从小学一年级数学开始，就有这样的问题：
观察上表（20以内的加法表），横着看看、竖着看看、斜着看看，说一说你的发现。
初步观察，小朋友们会有比较直观的发现，如：竖着看第一列都有9，横着看第一个加数都是987；进一步观察后，会发现：竖着看，第一列都是9加几，加的数越大，结果越大；横着看相加的结果都一样等等。当多个发现汇总的时候，我们会归纳出相应的规律。
例1：下图是一辆汽车从解放路站到商场站之间行驶速度变化的情况：
观察上图，你知道了什么？
答案：从解放路到商场用时4分钟；0到1分钟的时候这辆汽车的速度从0升到了400米；0.5分时速度是200米/分。
例2：观察下面这组算式，说说你有什么发现吧！
37×3=111
37×6=222
37×9=333
37×12=（）
37×15=（）
37×18=（）
答案：一个因数（37）不变，第二个算式开始，另一个因数依次是第一个算数的另一个因数（3）的2、3、4、5、6倍，因此乘积依次为222、333、444、555、666这样的三个相同数字。
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