上节的讨论告诉我们：
如果两组东西能够配对，它们就一样多。
如果一组东西能够和另一组东西的一部分配对，这组东西就不会比另一组多。
根据这两条，正整数与全体整数是不是一样多的问题，现在就不难水落石出了。你看：
上面一行是按普通办法排列的正整数，下面一行是按一种特殊的办法排列的整数。不难看出，如果把上下两数相配，我们就把每一个正整数和整数配成了对。这样一来，我们就可以知道，正整数和全体整数是一样多的。
我们还可以发现全体整数和全体偶数一样多。这只要按下面的办法来配对就可以看出来：
1、2、3、4、5、6…
2、4、6、8、10、12…
再举一个复杂一点的例子。一个围棋盘，是每边18个格的正方形，它共有182=324个方格。如果把这个围棋盘每边加到20格，那就是202=400个方格。如果把这个棋盘往上下左右都无限地扩大，那方格的数目就有无穷多了。现在，我们按照下面的办法在每一个方格里填上一个正整数：
这些例子都和正整数一样多。有没有比正整数多的东西呢？有的。在数学上，把全体整数和小数（包括无穷小数）总称为实数，全体实数就比全体正整数多。
怎样说明这一点呢？我们当然不难把全体正整数和全体实数的一部分配对。但是，这只能说明全体正整数不会比全体实数多，却不能说明全体实数的确比全体正整数多。
要想证明全体正整数和全体实数的确不一样多，我们必须证明：不可能把全体正整数和全体实数配上对。
怎样证明这一点呢？
如果我想说明两组东西可以配对，我可以把配好的对写出来给你看。现在要说明两组东西不能配对，有什么办法呢？
有的。如果有人声称他已经把正整数和实数配上了对，只要指出他还遗漏了某个实数没有配上对就行了。
这件事看来很难，其实不难。我们可以把与正整数1配对的实数写成a，与正整数2配对的实数写成b，与正整数3配对的实数写成c，等等。
我们再按下面的办法写一个实数x：x是个无穷小数，整数部分是0；x的第一位小数，与a的第一位小数不同；x的第二位小数，与b的第二位小数不同；x的第三位小数，与c的第三位小数不同，如此等等。
这个x会不会等于a呢？不会的。因为它们的第一位小数不同。这个x会不会等于b呢？不会的，因为它们的第二位小数不同。
很明显，因为x总有一位小数与a、b、c……不同，所以x不会等于与任何一个正整数配了对的实数，即x并没有与任何一个正整数配上对！
正整数和实数是不能配对的，说明全体正整数和全体实数不一样多，全体实数确实多一些。可见任何一个声称已经把正整数和实数配上了对的人，其实都是错误的。
这样，我们就至少有了两种无穷多了：全体正整数的个数叫做可数无穷多，全体实数的个数叫做连续无穷多。
根据这个道理，我们还可以说明一条直线上的点有连续无穷多，一个正方形里的点也有连续无穷多，等等。一张纸上能画出多少不同的三角形呢？答案也是连续无穷多。
不过，为了很好解决这一类问题，我们还需要研究“无穷多的算术”。
比如说加法，我们知道两组东西，一组是n个，一组是m个，把这两组东西放在一起，共有多少呢？就是n+m个。
如果n和m当中有一个是无穷多，或者两个都是无穷多，n+m也是无穷多。
如果用a表示可数无穷多，我们可以算出来：
a+1=a，a+a=a。
实际上，正整数总共是a个，负整数总共也是a个，再添上一个0，就是全体整数，所以全体整数共有a+a+l个。前面已经说过，全体整数和全体正整数是一样多的，所以：
这个式子告诉我们，a+l或a+a都不会比a+a+1更多，也就是不会比a更多；而a也不会比a+l或a+a更多。因此，它们都是一样多。
这个式子是很奇妙的。它实际上证明了两个相同的无穷多相加，或者无穷多和有穷多的数相加，还等于同样的无穷多。要是两个不相同的无穷多相加，那就应该等于比较多的那个无穷多。(www.xing528.com)
无穷多也可以做乘法、乘方等等。我们可以证明，许多代数公式对于无穷多也是适用的。比如：
也有一些公式对无穷多是不适用的。比如在普通的算术中，只要n不是1，n2总是大于n的。在无穷多的算术中，我们却可以证明n2=n。前面讨论过“棋盘有多少方格”的问题，说的就是这件事。
不等式的公式对于无穷多来说，基本上是不适用的。这是无穷多的奇妙特性——全体可能并不比它的一部分多这个特性造成的。在这方面，只有一个公式是例外，这就是只要n≠1，就一定有nm＞m。
这个式子很重要。因为关于无穷多的不等式，我们一共就只知道这么一个。可见人们对无穷多的了解还远远不够。
比如说，我们知道最少的无穷多是可数无穷多a，而且可以证明连续的无穷多c等于2a，但是我们并不知道在a与c之间还有没有其他的无穷多。
研究这些问题是集合论的任务。集合论是现代数学中最基本、最困难的分支之一。
名师导读
老虎的尾巴长，兔子的尾巴短，蛇的尾巴没法量，身子尾巴一样长。
——儿歌《尾巴》
在我们的常识中我们一般认为事物的一部分肯定要比整体要小，整体一定比其中的一部分要大，然而马教授呈现的全体整数与正整数的比较结果——全体整数和正整数一样多，我们都知道全体整数包括正整数、负整数和0，然而却得到了这样的比较结果。让人惊叹“意料之外”，看完证明的过程又不禁点头，的确在“情理之中”。这正是数学的美妙之处——乍看简单、平常，却别有洞天，另有玄机，需要勤于探索，谨慎求解。
在我们的小学数学计算学习中也有这样的问题。
例：某商场在进行“满百省”活动，满100省10，满200省30，满300省50。大于400的消费只能折算为等同于几个100、200、300的加和。已知一位顾客买某款衬衫1件支付了175元，那么买3件这样的衬衫最少需要多少元？
答案：
1.一件这样的衬衫原价175+10=185元；三件：185×3=555元＞400元；优惠方式可能为：
①555=300+200+55，可优惠80元；
②555=300+100+100+55，可优惠70元；
③555=200+200+100+55，可优惠70元；
④555=200+100+100+100+55，可优惠60元；
⑤555=100+100+100+100+100+55，可优惠50元；
因此买3件这样的衬衫最少需要555-80=475元。
2.他们忽略了还有一种可能，这件衬衫的原价可能不但满100元，还可能满200元，如果这件衬衫原价满200元，满足满200减30的优惠条件，则这件衬衫的原价应该为：175+30=205元＞200元，也是有可能的；这样三件的价格就是：205×3=615元＞400元；优惠方式可能为：
①615=300+300+15，可优惠100元；
②615=300+200+100+15，可优惠90元；
③615=300+100+100+100+15，可优惠80元；
④615=200+200+200+15，可优惠90元；
⑤…………
因此买3件这样的衬衫最少需要615-100=515元。
可见，学好数学，可以让我们做事更踏实、更严谨，让我们能够更合理地安排我们的生活。
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