不超过10的正整数有多少个？
10个。
不超过230571的正整数有多少个？
230571个。
全体正整数有多少个？
无穷多个。
这样回答是正确的。
如果我继续问下去：
人的手指有多少个？
10个。
人的手指和不超过10的正整数一样多吗？
一样多。
全体整数——包括正整数、负整数和零有多少个？
无穷多个。
全体整数和全体正整数一样多吗？
这下难住了。
可不是嘛！前面已经回答过全体正整数有无穷多个，现在又回答全体整数有无穷多个，都是无穷多个，看来不是一样多吗？但是，全体正整数只是全体整数的一部分，一部分能和全体一样多吗？
必须承认无穷多个只是一个笼统的说法，而不是一个精确的说法。无穷多和无穷多不见得一样多。承认了这一条，就容易自圆其说了。
但是，问题并没有完全解决。怎样比较两个无穷的数谁大谁小呢？比如我问：
全体长方形和全体菱形哪个多些？
一条直线上的所有线段和一个圆里的点哪个多些？
正方形和正整数哪个多些？
…………
这些问题中涉及的无穷数，并不是全体和部分的关系，因此，我们也就不能一下子回答这个问题了。
看起来，得想一个办法，使得我们可以比较两组不同的东西的多少。
如果两组东西都是有穷的，要比较它们的多少，一般是数数：数一数第一组东西有多少，第二组东西有多少，然后就知道谁多谁少了。
这个办法对“无穷”来说是不适用的，因为“无穷”本身就包含数不清的意思在内。我们得另想办法。
假定桌上摆了一些糖和饼干，不许数数，怎么知道是糖多还是饼干多？
你可以这样做：把糖一块一块地放到饼干上，每一块饼干上只放一块糖。放的结果，如果还有空着的饼干，那么饼干就比糖多；如果还有糖，那么糖就比饼干多。也许很巧，既没有多余的糖，也没有多余的饼干，每一块糖都放在一块饼干上了，两者就一样多。
从这里，我们得到一种启发：我们要比较两种东西的多寡，可以设法把这两种东西互相配对。如果两组东西恰好全部都配成了对，它们就一样多；哪一种剩下了，哪一种就多些。
这个想法可以帮助我们解决一些问题。
例如正整数和负整数是一样多的，因为我们很容易把1和-1、2和-2、…、n和-n……都一一配成对。(www.xing528.com)
又例如正整数比直线上的点少些，因为我们可以在直线上任取一个线段A1A2，再取A2A3=A1A2，A3A4=A1A2…这样，很自然地把1和A1、2和A2、…、n和An……配成对，但是在直线上，还有大量的点没有配上对，这就证明了正整数比直线上的点少。至此，问题并没有完全解决。比如说：
12345678910…
这里我们用细字与粗字分别印出了奇数和偶数，如果问奇数与偶数哪一种多？可以出现两种解答：
一种是把1与2、3与4等配成对，也就是说把一个细字的数与它后面的粗字的数配成对，这样一定会得到一个结论：奇数和偶数一样多。
另一种是把2与3、4与5等配成对，也就是把一个粗字的数和后面的细字的数配成对，这样一来，就把1这个细字的数剩了下来，于是得到另一个结论：奇数比偶数多。
同一个问题，两种不同的解答，哪一种对呢？
又比如说：
123456…
123456…
这是相同的两组东西，只不过一组是用细字印的，一组是用粗字印的，它们应该是一样多的。不过，要是把每一个粗字印的数和右上方的细字印的数配成对，就会剩下细字1，于是就会得出结论说：细字印的数多。反过来，如果把每一个细字印的数和右下方的粗字印的数配成对，就会剩下粗字1，于是就会得出结论说：粗字印的数多。
这些互相矛盾的结论，说明我们前面的想法还有毛病。
毛病在哪里呢？就在于我们认为：在把两组东西配对的时候，某一组剩下了一些没有配上对的东西，这一组就多一些。
上面的两个例子告诉我们，使某一组剩下了一些没有配上对的东西，也不能断言这组东西就多一些；只能说，这一组东西不会比另一组东西少，可能是这一组东西多些，也可能是两组东西一样多。
这是一件很意外的事，因为它和我们的常识不符。但是，我们的常识是从对有穷的东西的研究中总结出来的，到研究无穷的东西的时候，就不能完全适用了。
有了这样的认识，我们就可以解释上面的矛盾。原来，两个问题中细字的数与粗字的数都是一样多的。
这样看来，有关无穷多的问题，绝不能根据朴素的常识随便下结论。
现在回到全体整数和全体正整数是不是一样多的问题。开初，你的印象大概是全体整数比全体正整数多吧！
根据是什么呢？无非是认为“全体”总比“部分”多些。经过刚才的讨论，你大概也会变得更加谨慎一些了，觉得有必要对这个问题重新审查一下了。
有关无穷多的问题，我们确实应该采取这个态度。
名师导读
比事物的多少，是生活中常常碰到的问题。如果数量少的，我们可以数数就知道谁多谁少，而当数量一多，我们就得想想办法了，像马教授在《奇怪的无穷多》里讲述的糖和饼干的例子，一堆糖一堆饼干，一眼看不出多少，数的话也很麻烦，怎么办呢？可以摆一摆，一块饼干上放一颗糖，一块饼干一颗糖……如果饼干有剩的，那么饼干就多；如果糖果有剩的，糖果就多；如果饼干和糖果刚好摆完，那么就是饼干和糖果的数量一样多。这就是通过给饼干和糖果配对来比多少。这种配对的方法其实就是应用了数学中对应的思想。
在小学数学中这种“一一对应”是应用最普遍的数学思想方法之一，它能将抽象、复杂的数学知识形象化、直观化、简单化，它对于抽象逻辑思维能力还不强的小学生来说尤其重要。
在一年级数学学习“同样多”“多一些”“少一些”时，像刚才的比较饼干、糖果的数量一样，引导学生运用配对的方法，将两样比较数量的事物一一对应，进而得出结论。为进一步学习自然数大小比较和“比多少”应用题奠定了基础。
还有，在认识11～20各数时，利用数轴，让学生借助数轴对读数、写数、基数、序数、后继数等概念进行认识了解、区分辨认。使学生知道有方向的直线上的每一点与数产生一一对应。
这里还有一个关于“一一对应”的有意思的例子：数字编码，把数字按照一定的规则编排在一起，就能表达特定的信息，这就是编码。编码最典型的例子就是我们的身份证，看！身份证号码的编排每个数都有着它对应的意义：
你看懂了吗？
你能回答下面的问题吗？
1.某人的身份证号码是360429198703263312，这个人是哪个省的人？生日是哪年哪月哪天呢？
2.东师附小准备开运动会，6个年级全部参加，每个年级有10个班，每班选出15名运动员，单号是男生，双号是女生，按照要求，五（1）班的1号运动员的编号是50101。（1）这种编码的规则是什么？（2）按照这种规则，三（9）班的13号运动员的编号是多少？是男生还是女生？
看来配对的学问，不止可以用在饼干和糖果，只要我们学会用数学的思维看世界，还会有更多的发现和收获！
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