莫比乌斯环：四色问题的副产品

19世纪的几何学家莫比乌斯也研究过四色问题。他没有解决这个问题，却发现了一种连接数h=2的曲面。后来，人们把这个曲面叫做莫比乌斯环。

莫比乌斯环不只与四色问题有关，还和许多有趣的拓扑学问题有关。

现在，我们通过一个有趣的问题，来介绍莫比乌斯环。

某个地区有3个村庄和3所学校，现在要从每一个村庄到3所学校各修一条路，能不能使这些路互不相交呢？

每个村庄要修3条路通向3所学校，所以总共得修3×3=9条路。图上画出了8条路，要修第9条路就不可能了。

你可以再试试，我断定你也会失败的。为什么呢？欧拉公式n-m+p=2可以说明这一点。假定你竟把这9条路都修好了，那么，每个村庄和每个学校，就相当于一个顶点（n），每一条路就相当于一段边界（m），道路之间的土地就相当于分成若干个国家（p）。因为有9条路、6个顶点，所以根据欧拉公式：

6-9+p=2，得p=5。

就是说有5个国家。

可是，从一个村庄出发，随便走一段路，就会到达一所学校；再走一段路，就会到达另一个村庄；再走一段路，又会到达另一所学校。总之，走3段路是不会回到原地的，也就是说，3段边界围不出一个国家。可见每个国家至少有4段边界。

我们知道，每一段边界两侧各有一个国家，9条边界两侧共有18个国家。现在，每一个国家至少有4段边界，18÷4=4.5，而国家的数目不可能出现小数，所以国家至多是4个。

这里说国家至多是4个，前面根据欧拉公式算出来，国家必须有5个，这不就矛盾了吗？这只能说明开始的假定是不合理的，也就是说，你不可能按题目提出的要求把路修好。

这种在地面上不可能完成的修路计划，在特殊的曲面上倒是可以完成。把n=6、m=9、p=4代进欧拉公式：

6-9+4=3-h，得h=2。

这说明在连接数是2的曲面上，就可以修好这样的9条路。莫比乌斯环正是一种连接数是2的曲面。

什么是莫比乌斯环呢？

把一个长的纸条，如左图扭转180°，把两端粘在一起，就成了一个莫比乌斯环。

你把莫比乌斯环沿中线剪开。不要以为这样一剪，环就分成了两个。它仍旧是一个纸环，当然大了一倍，仔细检查一下，它扭了360°。(www.xing528.com)

剪了一圈，它没有分成两片，可见它的连接数至少是2。

如果用刚才的办法，再沿中线剪一圈，纸环分成互不相连的两个环，虽然它们互相套着。这说明莫比乌斯环的连接数不是3，只可能是2。

现在我们就来看一看，怎样在连接数是2的莫比乌斯环上安排那9条路。

用一张透明的纸来做一个莫比乌斯环。在粘合以前，先按上图的办法画好。如果你用的纸不是透明的，那就要正反两面都画好，粘好之后，你就会得到一个修路的方案。

莫比乌斯环有许多有趣的性质。它没有正反两面，换句话说，你没有办法把它一面染成蓝的，一面染成红的。不信你就试试看。它没有上下两条边，换句话说，你没有办法把它的一条边染成红的，另一条边染成蓝的。不信你就试试看。

在莫比乌斯环上画地图，根据前面所说的原则染色，需要5种颜色。你不妨试试看。

还有一个有趣的问题，也是在平面上办不到，但在莫比乌斯环上可以办到。这个问题是：有个地区有5个村庄，在每两个村庄之间修一条公路，能不能使这些公路都不相交？

名师导读

莫比乌斯环是公元1858年，德国数学家莫比乌斯和约翰·李斯丁发现的。把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通的纸带有两个面，可以涂成不同的颜色，而莫比乌斯环只有一个面，从莫比乌斯环上的一点开始涂色，不翻过边界一直涂下去，最终会回到这一点。正如马教授在文中介绍的那样，一些在平面上不能够实现的事，搬到莫比乌斯环上便没了问题。

莫比乌斯环的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。运用莫比乌斯环原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。

1979年，美国著名轮胎公司百路驰创造性地把传送带制成莫比乌斯环形状，这样一来，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里，就有一部“加强版”的云霄飞车，它的轨道是一个莫比乌斯环。莫比乌斯环循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各类标志设计，甚至垃圾回收标志也是由莫比乌斯环变化而来。

与莫比乌斯环相似原理的有一个克莱因瓶，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有边，它的表面不会终结。它和球面不同，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面，即它没有内外之分。

还有一个跟莫比乌斯环有关的趣事，古时候有一个小偷，偷了一个农民的东西，被送到县衙，县官发现小偷是自己的儿子。就在一张纸条的正面写了：小偷应当放掉；在纸的反面写了：农民应当关押。县官将纸条交给执法官让他去办。执法官不想冤枉农民，又不敢擅自修改县官的命令。怎么办呢？他想到了一个好主意。他没有更改字条上的任何一个字，而是用这个长方形的纸条做了一个纸环，接着大声念道“应当关押小偷应当放掉农民”小偷最终受到了惩罚。你知道这是怎么回事儿吗？不妨动手试一试吧！

其实在我们小学六年级下册的数学好玩单元也介绍了相关的内容：

例：一个纸环的内侧有一点面包屑，外面有只蚂蚁，如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘，哪只蚂蚁能够吃到面包屑呢？

答案：B