在数学中，感觉到是一回事，证明出来是另外一回事，这两者之间的距离可能十分遥远。著名的哥德巴赫猜想就是一个明显的例子。
四色问题也是早就感觉到了的，后来经过了100多年才得到证明，耗费了许多数学家的精力。
数学家最初对这个问题不感兴趣，以为它太简单，不屑于考虑。后来，他们发现这个问题比想象的要困难得多，为了证明它，要研究许多有关的问题。其中很重要的一个问题，是要深入研究连接数和色数的关系。
给一张地图染色，最要紧的是各个国家谁挨着谁。边界线相交的地方，是三个国家的哨兵都可以到达的地方，我们把这种点叫做顶点。为了简单起见，我们假定没有4个或者更多的国家的哨兵可以到达的顶点。
顶点把边界线分成一段一段的，每一段边界线的两侧是两个国家。
一张地图，如果有n个顶点、m段边界线和p个国家，那么：nm+p=2。
这就是有名的欧拉公式。
上右图，这张简单的地图，它有4个顶点（标明了1、2、3、4），有6段边界（1到2、1到3、1到4、2到3、3到4、4到2），分为4个国家A、B、C、D（其中D占有圆圈外面的所有土地）。这样就有n=4，m=6，p=4；n-m+p=4-6+4=2，恰好合乎公式。
下面这张地图比较复杂，可以数出来n=10，m=15，p=7；nm+p=10-15+7=2，也恰好合乎公式。
对于环面来说，这个公式就不正确了。上节那张七色图，可以数出n=14，m=21，p=7；n-m+p=14-21+7=0。我们可以把欧拉公式稍加修改，变成：
n-m+p=3-h。这里h是连接数。
对于平面来说，连接数h=l，等号右边的3-h=2，这个公式就变成前面写过的公式。
对于环面来说，连接数h=3，等号右边的3-h=0，所以：
这就是环面的欧拉公式。环面的七色图，正好与这个公式相吻合。(www.xing528.com)
欧拉公式把连接数、顶点数、边界数和国家数联系在一起，是从连接数通到色数的一座桥梁。
名师导读
正如马教授所说：在数学中，感觉到是一回事，证明出来是另外一回事，这两者之间的距离可能十分遥远。“然而勇于挑战的人，总是会欣赏到独特的风景。”
欧拉是数学史上公认的4名最伟大的数学家之一，同时也是数学史上最多产的数学家，在许多数学的分支中经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了47年。
欧拉著作多到惊人并不是偶然的，他是一位非常勤奋的数学家，即使在恶劣的环境下仍然可以潜心研究。1771年彼得堡的大火，64岁的欧拉被围困在大火中，虽然失明的他被救了出来，但他的书房和大量研究成果却被火海淹没了，然而这并没有使欧拉倒下。欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久。而人生最后的7年，他还以惊人的速度产出了生平一半的著作。法国大数学家拉普拉斯曾说过一句话——读读欧拉，他是所有人的老师。
众所周知，数学家欧拉在解决“哥尼斯堡城‘七桥问题’”时开创了数学的新分支——图论，也就是我们所说的“一笔画”，一笔画图形的必要条件是：奇点（与奇数条边相连的点）的数目是0或者2。
例1：请在能够一笔画出的图形下面画“√”，不能一笔画出的图形下面画“×”。
答案解析：
图A奇点的个数是2个，点b和e；
图B奇点的个数是2个，点h和k；
图C奇点的个数是0个；
图D奇点的个数是4个，点a，b，c，d；
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