土星的光环奇异好看。如果把土星去掉，剩下一个光环，它就像一个扁扁的游泳圈。
如果我们居住在这样一个世界上，情况会怎样呢？
天文学家会告诉你，这是不可能的。因为那里非常冷，没有大气，脚下不是坚实的土地，而是一些松散的冰块，或者是带冰的石块。
我们感兴趣的是另一个问题：要是把地球上的人和国家都搬到土星光环上去，那么，国家间的边界关系就大大变样了。
为了便于想象，你不妨在一个游泳圈上画一幅地图，把它当做土星光环上的地图。然后做一做染色试验，看需要几种颜色，才能按染色原则的要求，来染每一幅光环地图。
这个问题的答案是：7种颜色。
当然啰，有的光环地图也许6色、5色、4色就够用了，而有些光环地图却要用7种颜色。也就是说，任何光环地图要染色，至多只要用7种颜色。
为什么光环地图要用7种颜色呢？道理很简单。因为在光环上，我们可以画出7个国家，其中任何一个国家都和其他的6个国家相邻。按照染色原则，每一个国家的颜色，都不能和相邻的国家的颜色相同。这就必须用7种颜色，不能再少了。
你可能要问，上一节不是说了，任何地图都可以用4种颜色来染色，为什么这一节又说要用7种颜色呢？
上一节说的“四色”，指的是通常画在纸上的地图；这一节说的“七色”，指的是画在土星光环或者游泳圈上的地图。用数学的术语来说，前一种地图是画在平面上的，后一种地图是画在环面上的。
平面和环面难道有什么不同吗？
当然不同啰，平面是平的，向四面八方都可以伸展到无限远；环面是弯曲的、有限的。但是，平面和环面的这种不同，不会影响染色所需要的色的多少。
比如说，我们把地图不是画在无穷大的平面上，而只是画在一张圆纸片上，这丝毫也不会改变“四色”的要求。
又比如说，我们把地图画在一个鼓的鼓皮上，然后把鼓皮压成一个碗的形状，这也丝毫不会改变“四色”的要求。
那么，平面和环面究竟有什么不同因素，使它们对颜色多少的要求有所不同呢？
你试试看，能不能模仿环面上的七色地图，在平面上也画一个七色图呢？这一试，你马上就会感觉出平面和环面的巨大差别了：原来在环面上，你无论向哪一个方向走去，都会回到原来的地方。(www.xing528.com)
球的表面叫做球面，它也有这样的性质。但是，环面和球面还有一个很大的差别：如果你沿着一个方向把球面剪开，球面就分成了不相连的两块。在这一点上，球面和平面是一致的。
再在环面上试一试，你可以这样剪两次，而环面还不会变成两块。这就是说，环面的各部分之间的联系，比平面和球面多，你剪断了其中的两种联系，它还能连在一起。
因此我们说：平面和球面的连接数是“1”，环面的连接数是“3”。连接数大，需要的颜色就多。
研究这些问题的数学叫拓扑学。这是几何学的一个分支。
在拓扑学中，不关心初等几何中大家熟悉的东西，比如平面、垂直、全等形等，只研究图形的这一部分和那一部分是不是互相连接，这叫做图形的拓扑性质。
如果一个图形是画在橡皮膜上的，那么，把这个橡皮膜随便拉一拉，压一压，卷一卷，图形的样子可能发生很大的变化，三角形可能变成了圆形；但是只要不把橡皮膜弄破，图形的哪个部分连着哪个部分是不会改变的，也就是说，图形的拓扑性质是不会改变的。所以，有人把拓扑学形象地叫做橡皮膜上的几何学。
名师导读
本文中提到的拓扑学是数学的一个重要分支。引用“吴国平数学教育”中的一幅图，来给大家看看，拓扑学究竟是研究什么的呢？
我们知道，在小学阶段我们研究三角形的特征，有三个顶点、三条边、三个角。而在拓扑学中，三角形与这些长方形和圆都是对等的。就像我们把这个三角形看成橡皮筋围成的，这个橡皮筋通过拉伸、扭曲、变形同样能围成长方形，圆等图形。
有些人可能有些迷茫，就像这个橡皮筋，不管拉伸、扭转后周长面积的变化，只关注在这个过程中形状改变后，橡皮筋的连接并没有发生改变，这就是拓扑学。
如著名的哥尼斯堡七桥问题：
例1：18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如图a）。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。
后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题（如图b）——一笔画问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点的数目不是0个就是2个（连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点要么没有要么在两端。）
了解了一点拓扑学的知识，知道吗，拓扑学还可以帮助我们解释深奥的物理或者化学模型呢，期待你和马教授一起，学习了解到更多的数学知识。
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