几何学研究图形的性质。
自行车、课桌和形形色色的机器、车辆以及用具等，都是工业产品。在设计的时候，人们总是尽可能地采用直线、圆、三角形、四边形等简单的几何图形，为的是便于加工和配套，便于使用和修理。
自然形成的东西，形状往往要复杂得多。我们常常说某某人是四方脸或者圆脸，那只是一个大概的轮廓罢了。如果某个人的脸真是一个端端正正的正方形，或者是一个浑圆的圆形，那会把人吓得毛骨悚然的。
自然界里的东西，都不会是又整齐又简单的图形，所以几何学不能只研究简单的几何图形。
我们翻开一本地图来看一看，地图上就充满了各种各样的复杂的图形，最主要的是曲线。比如北京到天津的铁路是一段曲线，北京市的边界是一条首尾相连的曲线。
大家都知道，量直线的长度可以用直尺，量曲线的长度却没有“曲尺”。曲线的形状千变万化，没有一种曲尺可以对付各种不同的曲线。
有一个办法可以量天津到北京的铁路线有多长，就是用一根细线顺铁路线摆好；用笔在线上做两个记号，表示北京和天津的位置；然后把线拉直，用直尺量出两个记号之间的距离。
这个方法很不方便，而且效果很差，不信你就试试。要使细线正好摆在铁路线上很困难，如果反复做几次还会发现，各次量得的结果相差很大。
有个比较好的办法：找一个两只脚都是铁针的圆规，把两只脚张开到1厘米，使圆规的一只脚放在天津的位置上，另一只脚落到铁路线的一点上。以这个点为中心，旋转圆规，使原来放在天津的位置上的那只脚，落到铁路线的另一点上。这样一步一步地前进，直到圆规的一只脚落到北京的位置上。你记住圆规走了几步，就知道铁路线的长度是多少厘米了。如果没有正好落在北京，而是稍微差一点儿，相应增减一点儿就行了。
当然，也可以把圆规的两只脚张开得小一些，比如说0.5厘米，或者0.3厘米，量出来的距离就更准确一些。这是什么道理呢？请看下面的图。
如果圆规两只脚张开的距离是1厘米，用来量图上AB这一段曲线，一共走了5步，分别经过C、D、E、F各点。那么我们可以说，AB这段曲线的长是5厘米。
但是仔细一看图，就知道这个数目并不正确。比如从A到C之间的直线，和A到C之间的曲线并不重合，还离得比较远，A到C的直线距离是1厘米，而从A到C之间的曲线就比1厘米要长一些。
要是你把圆规两只脚的距离改成0.5厘米，再去量，你会发现，第一步落到P点，第二步落到Q点，就到不了C点，还差一点儿；接着量下去，第四步也到不了D点，而且差得多了一些。因此走满10步一定也到不了B点，还得走上一步或者两步才行。
这说明，用圆规去量曲线，量出来的长度总是比曲线的真正长度短一些。圆规的两只脚的距离越长，量出来的长度和真正的长度的差别越大。这个差别叫做测量误差。
所以在实际测量的时候，应该尽可能缩小两只脚的距离，减少测量误差。
但是，误差总是无法避免的，除非把圆规的两只脚的距离缩小到零。可是这样一来，圆规只能在原地打转，无法前进一步，也就不能测量了。(www.xing528.com)
有没有更好的办法呢？
有。如果曲线的真正长度是l，用圆规来量：两只脚张开1厘米，量出的距离是a，张开0.5厘米，量出的距离是b；那么，前一次测量的误差是l-a，后一次测量的误差是l-b。
前面已经说过，圆规的两只脚张开越大，测量误差越大。把圆规的两只脚的距离从1厘米减到0.5厘米，误差就会减少一半左右，所以
即l=2b-a。
用这个公式计算的结果，误差要小得多，也就是说更加符合实际。但是请注意：圆规两只脚的距离缩短一半，误差就减少一半，这不过是假定，并不是百分之百的精确。所以这个公式，还只是一个近似的公式。
以上所说的长度，是指地图上的那条曲线的长度。要想知道北京到天津的铁路线的实际长度，还要知道地图上的1厘米相当于地面上的多少厘米，这叫做比例尺。每张地图的比例尺，一般都标在地图的一个角落里。比如1∶4000000，就是地图上的1厘米相当于地面上4000000厘米，即40千米。在这样的地图上，一条长度为5厘米的曲线，相当于地面上的40×5=200千米。
名师导读
测量长度大家十分熟悉，度量简单的几何图形也难不倒我们，然而如何测量不规则的曲线的长度呢？在答案揭晓之前，你有没有停下来先试着想一想解决的方法？办法想到了，在操作的过程中又可能会遇到哪些困难呢？
马教授不但给我们提供了耳目一新的方法，让我们能够测曲线的长度，并形象的呈现了误差产生的原因，丰富了我们对它的认识。以往只知道测量的过程中由于操作、工具等原因会产生误差。原来除了多次测量求平均数以外，还可以通过这样的方法来减小误差，读罢此文不但在认识上“更尽一层楼”，心中又凭添了几分自信。
其实早在一年级我们学习比较长短时用的格子图与本文所讲到的方法便有异曲同工之妙。
例1：帮忙比一比，在路线最长的在（）里画“√”，最短的在（）里画“○”。
答案解析：用手指代替蜗牛走一走，明确路线的长度是格子边的个数，而不是格子的个数；用笔点数格子边的个数，可以用符号作标记，比如第一只蜗牛走了9个格子边，第二只蜗牛走了8个格子边，第三只蜗牛走了10个格子边。所以第二只蜗牛走的最短画“○”，第三只蜗牛走的最长画“√”。
例2：比一比，最长的画“√”，最短的画“○”。
第一条线段的长度为9个格子边，第二条比7个多一些，第三条比9个格子边多，所以最长的是第三条画“√”，最短的是第二条画“○”。
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