数学解题思维培养：基于学生猜想探究能力的教学改进研究

一、数学猜想探究能力的含义、意义与方法

如何促进和评价学生数学素养和数学能力发展，已然成为当前理论研究和教学实践研究关注的热点问题之一。数学素养和数学能力密切相关，数学素养又表现为某些关键数学能力。《普通高中数学课程标准（实验）》强调：“让学生不断经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象等思维过程，强调返璞归真，数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，使学生理解概念、结论、定理产生的背景和形成的过程。”数学素养测试和中美跨文化研究则表明，中国学生在非常规数学问题（如在较为复杂的问题情境或开放性问题）中获取信息、提出问题和分析问题的能力有待提高。而发现问题、提出问题、分析问题是数学猜想探究能力的核心要素。教学实践研究显示，96.3%的教师完全认同“课堂教学要以学生为主体”这一观念，而教学实践中“完全做到”的比例较低。教师设计了自主探究、自主学习、练习的环节，但经常没有充分的时间去实现这些环节。2014年，“中小学生学科能力表现研究”课题组对B市三个区八年级至高三年级的学生从学习理解、实践应用和创造迁移三个维度开展了大规模的数学学科能力测试。测试结果显示，八年级至高三年级学生存在的共同问题之一是创造迁移维度上的能力最低，其中猜想探究能力是创造迁移能力的二级指标，学生在这个能力维度上的平均得分率仅为51%。^[5]因此，目前教学中对猜想探究能力培养存在怎样的问题和如何改进教学才能更好地培养学生的猜想探究能力，是值得深入研究的两个课题。

（一）学生数学猜想探究能力的含义与意义

猜想是个体通过观察、比较、分析事实和现象，根据已有的知识发现问题、提出问题，进而做出符合一定经验与事实的推测性想象的思维形式。猜想属于合情推理。数学猜想是指在数学学习或问题解决时展开的分析、尝试和探索，是对涉及数学问题的思想、方法以及结论的形式、范围、数值等的猜测，它是探究的核心。探究是在对猜想进行推理论证，反复与事实、现象进行验证而获得可靠的结论的过程。因此，猜想探究在数学发展过程中发挥了重要作用，数学家通过猜想探究发现新的结论，创造新的数学概念，进而推动了数学的发展。猜想探究是学生学习数学的主要方式之一，也是学生获得新的知识的必备的数学素养之一。

学生在经历相关的数学知识的猜想探究过程中，建立、培养和发展数学猜想探究能力。因此，数学猜想探究能力是学生独立根据已有的知识结构，提出新颖的值得论证的数学猜想并进行推理论证的能力，而新颖的数学猜想并不是严格意义上的数学新结论，而是相对于学生数学学习来说，是新的结论，学生在猜想探究的过程中，获得的不仅仅是新结论，更重要的是获得解决问题的思考方法。

学生数学猜想探究活动主要包含以下五个方面：发现问题、提出问题、提出猜想与假设、分析与推理、形成一般化的结论（符号化）。参与猜想探究活动的学生思维活动属于高层次思维，即是有意识的，围绕特定目标的，付出持续心理努力的，需要发散、研究判断和反思等认知活动的复杂思维，它包括问题解决、创造性思维、批判性思维以及自我反思等思维活动。

（二）开展数学猜想探究教学的理论依据与教学模式

知识不是通过教师传授所得，而是学习者在一定的情境下，借助其他人的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式自我获得的。它包含学习情境的创设、与他人的合作、建立新旧知识间的关联、形成对新意义的建构和对原有经验的改造与重组。学生要成为意义上的主动建构者，就要求学生利用探索法和发现法去建构知识的意义，对所要学习的问题提出各种假设并努力加以验证等。因此，建构主义学习论是在教学中开展数学猜想探究教学的理论基础和依据。与猜想探究能力培养相适应的是动态的数学观与数学教学观。所谓动态的数学观是指，把数学知识看作处于动态发展过程中的知识，从而一定包含猜想、尝试、错误、修正和再尝试的过程。相应的，动态的数学教学观则关注知识的形成过程，让学生经历知识的再创造的过程，所谓的再创造并不是学生真正提出新的结论，也不是重走数学家创造概念和结论的曲折过程，而是由学生像数学家那样，经历在问题解决过程中，猜想提出解决方案，不断地尝试和修正解决方案，对解决问题的过程进行反思，形成一般化的知识的过程。重视知识的形成过程，是数学教育界普遍达成的观点。在知识的形成过程中，如何培养和发展学生的猜想探究能力，也成为教育研究和教学实践关注的热点。

探究式教学是培养学生猜想探究能力的有效教学方法之一。探究式学习的基本模式有以下8种：①发现式学习（Discovery Learning）；②学习环模式（The Learning Cycle Model）；③5E学习环模式（The 5E’s Learning Cycle Model）；④四个层次的探究教学（Four Levels of In-quiry-Based Learning）；⑤基于问题的学习（Problem-Based Learning）；⑥基于项目的学习（Project-Based Learning）；⑦基于案例的学习（Case-Based Learning）；⑧过程导向的指导探究性学习（Process Oriented Guided Inquiry Learning）。

然而，在实际教学中，探究式教学并没有被一线教师很好地采纳和实践，概括起来有4个原因：①教师认为探究式教学比较浪费时间，不如讲授法承载知识量大，从考试成绩来看，还是讲授法好，如果再进一步追问，为什么教师会有这样的观念，或许这和很多教师持有的静态的、工具化的数学观有关系。②教师没有掌握探究式教学的本质特征，从而在一定程度上降低了探究式教学的有效性。③探究式教学对教师的数学专业素养要求较高，猜想探究之前，教师需要为学生准备恰当的素材，学生探究的过程需要教师恰当、适时的引导，而如何引导考量的是教师的专业素养。④学生的猜想探究能力难于评估，猜想探究能力不像数学知识那样显性化，易于评估，虽然很多教师意欲发展学生的猜想探究能力，但无奈不知如何测评，通过教学实践之后，也无从知道学生猜想探究能力是否得以发展，从而导致猜想探究能力的培养和发展这样的教学目标在教学中很难落实。

实际上，数学中的很多内容并不适合严格按照探究式教学的步骤去组织教学，这就提出了两个方面的问题：①教师需要仔细考虑哪些素材适合开发成探究式学习资源，需要认真设计探究式教学的组织、引导及评价，这一类可以称为扩展性数学内容，比如，解等腰三角形是学习解直角三角形之后的扩展性资源。②哪些内容适合课堂上适度的开放，引导学生猜想探究。对于不能完整开发成探究式学习资源的数学学习内容，在某些环节适度地引导学生经历猜想探究的过程，发展猜想探究能力，这一类人们称之为常规性数学内容。比如，在等腰三角形的性质中如何发展学生猜想探究能力。可能第二个方面的设计能够帮助教学克服探究式教学时间、效率与课堂组织等问题。

因此，发展学生的猜想探究能力，教师不应该机械固守探究式教学的模式和程序，而应该力图反映猜想探究的本质，遵循“自主性、鼓励性、合作性、基础性、情境性和渗透性”等教学原则，通过鼓励等积极评价，激发猜想探究的欲望，暴露学生在探究过程中的智慧与错误，分析其思维过程的价值，引导其关注前概念与科学概念之间的关系，论证自己的发现，发展其合情推理和逻辑推理能力。

（三）高中生数学猜想探究的主要方法

数学猜想也被称为合情推理，波利亚在《怎样解题》中提出特殊化、一般化、类比、归纳法等获得猜想的方法。更为具体的方法有不完全归纳法、相似类比法、强化或减弱定理的条件、逆向思维以及观察或经验概括等。数学猜想被看作数学探究活动的核心，表现为思维主体从一定依据出发，利用非逻辑手段，直接获得猜想性命题的创造性思维过程，这种思维过程表现为直觉判别、直觉想象和直觉推断三种表现形式，更加强调直觉在猜想中的重要作用。猜想不一定正确，或许是错误的，数学探究是对猜想进行验证或证明，主要方法有反例法、逐次逼近法、命题转化法和反证法。在高中数学教学中，教师要向学生渗透数学猜想探究的方法。

二、基于学生猜想探究能力培养的教学改进研究办法与结论

如何测评学生猜想探究能力成为研究的关键之一。郭衍等开发了数学学科能力测试工具，从学习理解、实践应用和创造迁移三个维度对学生数学学科能力进行了评估，能够进一步地诊断出学生在猜想探究能力维度上存在的问题，使得聚焦于猜想探究能力的教学改进具有可操作性。能力测评问题为教师在教学设计、教学实施以及教学反思与评价提供了改进的方向与依据。因此，教学改进研究采用数学学科能力测评工具。

（一）基于学生猜想探究能力培养的教学改进研究办法

1.选择教学改进对象

本书选择了某地区的两所学校进行基于学科能力测评的教学改进案例研究。^[6]学校FT1是一所普通校，学校JD是一所区级示范校。在两所学校分别选择了八年级和九年级进行教学改进研究，见表4-6。为了提高研究中的针对性和有效性，研究中采用以点带面的方式进行，分别选择了四位年轻教师及其所教授的班级作为教学改进的主要研究对象，以他们的教学改进作为点，通过团队研讨，带动整个学校教研组的教师在猜想探究能力方面的教学改进。

表4-6　授课教师基本信息

2.教学改进办法

在教学改进研究中，可以采取教学改进研究路径六部曲。

第一，前测定改进点。为了更有针对性地诊断教学改进的班级的数学学科能力状况，在研究中，对四位教师所教授的159名学生进行了数学学科能力前测。测试结果显示（图4-9～图4-17），学生在猜想探究能力维度上的平均得分率为13.5%，是9个二级能力指标中得分率最低的。因此，学生在猜想探究能力上的提升空间最大。

从图4-9、图4-10、图4-11中可以看出，从内容维度看，FT1参与测试的八年级学生在统计与概率维度表现最好，其次分别是方程与不等式、图形与几何，函数部分相对比较薄弱。从能力维度上看，在学习理解维度上表现最好，其次是实践应用维度，而创造迁移维度表现最弱。这些结果与之前FT区的大样本数据是一致的。再从二级能力维度上看，创造迁移的3个二级指标提升空间大，尤其是“C2：猜想探究”是表现最弱的。因此，学校FT1八年级测试班级数学学科能力改进点为“C2：猜想探究”。

图4-9　学校FT1参与前测的八年级学生在内容维度上的表现

图4-10　学校FT1参与前测的八年级学生在学科能力维度上的表现

图4-11　学校FT1参与前测的八年级学生在二级能力维度上的表现

从图4-12中可以看出，学校JD八年级参与测试的学生在统计与概率上的表现最好，其次是方程与不等式，最后是图形与几何和函数。因此，学校JD选择改进的主题是图形与几何领域。

图4-12　学校JD参与前测的八年级学生在内容维度上的表现

从图4-13和图4-14中可以看出，参与测试的学生从能力的二级维度上看，在创造迁移的3个二级指标上表现较弱。在充分研究学生的测试结果，分析学生的能力表现之后，学校JD八年级测试班级数学学科能力改进点选择了“B2：推测解释”和“C2：猜想探究”作为教学改进点。

图4-13　学校JD参与前测的八年级学生在能力维度上的表现

图4-14　学校JD参与前测的八年级学生在二级能力维度上的表现

从图4-15中可以看出，学校FT1九年级参与测试的学生在统计与概率上的表现最好，其次是函数内容，然后是方程与不等式，在图形与几何上的表现最弱。

图4-15　学校FT1参与前测的九年级学生在内容维度上的表现

从图4-16和图4-17中可以看出，参与测试的九年级学生在能力的二级维度上，在创造迁移的3个二级指标上表现较弱。在充分研究学生的测试结果，分析学生的能力表现之后，学校FT1九年级测试班级数学学科能力改进点选择了“C2：猜想探究”作为教学改进点。(www.xing528.com)

图4-16　学校FT1参与前测的九年级学生在能力维度上的表现

图4-17　学校FT1参与前测的九年级学生在二级能力维度上的表现

第二，教学诊断。走进四个测试班级听了四节课，诊断教师的教学在猜想探究能力培养方面出现的问题，为下一步的教学改进提供依据。

第三，教学活动设计改进，聚焦猜想探究能力发展。四位教师以等腰三角形的性质、全等三角形的性质、双等腰三角形探究作为教学改进的课题（有两位教师的课题同为等腰三角形的性质）。四位教师先进行教学设计，然后由课题组一起研究如何通过一系列的关键性的活动把猜想探究能力发展的目标外显化，这主要包含两个方面：①问题的提出与活动的设计，什么样的问题能够激发学生猜想探究的欲望与兴趣。②什么样的活动及组织形式能够帮助学生完成猜想探究活动。

第四，课堂观察与课后分析，研究猜想探究能力的培养。教师在吸纳课题组意见的基础上，对教学活动设计进行再次修改之后进行第一次试讲，课题组在进行课堂观察、记录与录像之后，针对课堂中出现的问题进行分析与研讨，教师再次修改教学设计，并选择另外的班级进行正式讲，课题组进行课堂观察研究，正式讲之后，再结合猜想探究能力进行分析与研讨。

第五，访谈与反思。课后访谈与教学反思聚焦猜想探究能力的发展。在课后，访谈学生和教师，对学生的访谈主要关注他对本节课活动的理解和看法，对教师的访谈关注其在培养学生猜想探究能力较好的方面与需要改进的方面。

四位教师会进行两轮“教学设计研磨—试讲—正式讲”的教学改进活动，两轮的课题会选择不同的教学内容，但都是围绕培养学生的猜想探究能力。在研讨过程中，课题组力求借助两个具体的教学内容这样的“点”，通过分析教学关键事件中的数学学科能力，特别是猜想探究能力的培养，向授课教师渗透基于数学学科能力培养的教学理念，帮助授课教师掌握分析方法，以及课堂教学组织方法，以达到影响教师在日常教学中也能落实这些理念与方法的目的。

第六，诊断教学改进效果。对于教学改进的研究持续一学期后对学生进行测试，对改进后的教学效果进行量化的分析，找出存在的问题，为接下来的教学改进工作提供一定的借鉴和参考。

（二）教学改进研究的结论与解决策略

1.数学猜想探究教学的现存问题

通过对四位授课教师的课堂教学诊断及研究发现，四位授课教师在教学目标中都制定了发展学生“观察—猜想—探究—验证”的目标，在教学实践中也都积极探索学生猜想探究能力培养的方式和策略。经过访谈发现，一方面国家课程标准等提出了明确的要求“要培养学生的创新意识和实践能力，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”；另一方面是考试评价的导向作用，中考考查学生猜想探究的能力。同时也发现，四位数学教师在培养学生猜想探究方面仍然存在着以下三个方面的问题：

（1）借猜想探究之名而无其之实。有些数学活动尽管被教师称为猜想探究或探究，在教学目标中也确定了相应的探究目标，但仔细观察却发现，其教学根本未体现出猜想探究的基本要素。例如，在全等三角形的性质一课中，全等三角形的性质，也就是对应边和对应角的数量及位置关系，应该由学生去探究，但教师却直接给出答案，在这种情况下再让学生去猜想，就毫无意义可言了，学生的思维能力也没有得到锻炼，这种所谓的探究活动对学生的学习并无任何帮助，不能提高学生探究问题的能力。

（2）没有让学生进行猜想探究，学生进行猜想探究的权利没有得到保障。首先，学生缺乏进行猜想探究的积极性，学生对于教师提供的猜想材料没有进行探讨的欲望。其次，学生进行猜想探究活动的时间不够，探究活动通常是在教师的掌控下，没有完整的流程，学生没有思考的时间，教师就直接开始提问。最后，教师没有对学生在活动中提出的见解和看法提出客观评价，只是提出判断。比如，学生提出的想法从表面上看和教师的思路不一致，就被教师强行打断而转换思路。

（3）教师的不当引导干扰学生的猜想探究活动。教师在进行课堂教学前，都会根据自身的教学理念、专业知识与素养、学生情况等对猜想探究活动进行详细的设计与思考，这些都体现了教师的决策主动权。但在实际课堂教学中却发现，有时候教师的不当引导反而会对学生的猜想探究活动造成一种“强干扰”，教师力图引导学生向着自己预定的方向走，反而破坏了学生探究的思路。

2.教学改进研究策略

针对以上教学中存在的问题，在教学改进过程中，主要采用了如下的教学策略：

（1）设置学习任务时要保证质量，注重学生猜想探究能力的培养。高认知水平学习任务指的是打破常规、设定情境、具有开放性，要求学生进行复杂的思维，在思考过程中注意把握认知的过程，进行仔细地思考。属于高水平认知学习任务的如一个三角形分割成两个等腰三角形的条件、路径最短问题、如何解等腰三角形等。这些任务需要学生调动很多所学知识，对于知识的整体把握以及联想能力要求较高，猜想探究的难度较大，推理论证的过程也很复杂，对于学生的整体能力要求比较高，也考验学生提出问题、批判和反思的能力。这些能力的培养，可以很好地帮助学生培养学科能力。

（2）教师要尊重学生猜想探究的权利。这就需要教师具有动态的教学观和数学观，主要有以下四个方面：

首先，要给学生留有充足的时间去思考和探究，在此过程中不要提问学生，让学生自主思考。还要让学生自己去进行交流合作，学生之间的交流可以帮助学生进行自我反思，找到解决困难的方法，在交流过程中，学生可以反思自己的思考方式，降低认知难度。

其次，要给学生留有充足的进行猜想探究的空间。在探究过程中，教师不要给学生任何的提示，否则猜想探究就失去了意义。例如，等腰三角形的性质一课中，教师原来的教学设计是：“观察折叠的图形，找出重合的线段和角，填入下表，你能猜猜等腰三角形有什么性质吗？”平面几何中的线段和角重合就意味着数量关系相等。这样的提示就让探究的过程趋于简单化，可以让学生进行独立猜想的空间就变小了，不利于培养学生猜想探究的能力。因此，教学设计可以改为“根据制作的等腰三角形，你有什么问题？这个问题的结论是怎样的，试着猜想一下？该如何证明结论的合理性”？教师可以引导学生如何进行探究，再由学生自己进行论证。

再次，要尊重学生的思维过程，了解学生的观点和问题，对其中合理的部分表示认可，同时对于错误和不足的地方进行分析，切忌强行修正学生的答案。要对学生的猜想探究进行客观、全面的评价，而不能只做简单的对错评判。比如，在对等腰三角形的性质的试讲中，当学生提出“作BC的中垂线AD”证明等腰对等角这一性质时，教师直接进行了否定，课后通过分析学生作法的合理性、存在的问题以及如何引导，建议应该尊重学生的思维，把它看作发展学生推理能力的机会。

最后，让学生经历完整的猜想探究的过程，不管课上还是课下，相信探究是学生认识世界的基本方式之一，尊重、激发、保护学生的探究欲望，发展其探究能力，而完整的猜想探究过程，需要独立思考、需要与他人交流、需要反思与修正。比如，在探究三角形中位线定理时，学生通过图形直观猜测到结论时，教师转而引向“中位线的定义”“测量角度有什么数量关系，线段有什么位置关系，你有什么结论”等活动，看似教师在引导，实际上割裂了学生猜想探究过程的完整性，强行按照教师的设计走，不利于学生猜想探究能力的发展，不如放手让学生探索论证方法，引导学生交流想法、反思论证过程，抽象形成一般性的结论等。

因此，发展学生的猜想探究能力，教师不应该机械固守所谓探究式教学的模式和程序，而应该力图反映猜想探究的本质，通过鼓励等积极评价，激发猜想探究的欲望，暴露学生在探究过程中的智慧与错误，分析其思维过程的价值，引导其关注前概念与科学概念之间的关系，论证自己的发现，发展其合情推理和逻辑推理能力。

（3）教师要激发学生之间的相互评价与自我反思。猜想探究能力的培养是在确定与否定、独立思考与合作交流、质疑与批判、反思与调整的过程中进行的。在课堂中，学生要独立思考，对他人的见解有自己的判断和看法，能够从不同的角度对猜想并进行分析论证，和同学交流观点，对于自己的不足要及时弥补，反思问题的来源，教师要引导学生进行互评，锻炼学生的思维能力，这需要教师在日常教学中营造开放的、学生敢于质疑与批判的课堂氛围。