提升学生运算能力的教学改进研究成果

一、运算能力的含义、意义与价值

（一）数学运算能力的含义

1.我国数学课程标准对运算能力的要求

与《义务教育数学课程标准（实验）》相比，《标准（2011年版）》中指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”特别强调的是算理和结果的正确性。《普通高中数学课程标准（实验）》中指出课程的总目标是“使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要”。其具体目标中提到要“提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力”。教育部考试中心指出：“运算能力主要包括能够理解运算，会根据运算法则、公式与运算定律正确地进行运算，同时能根据题目的条件寻求到简捷的、合理的运算途径，能够运算迅速、准确和熟练。”^[4]对运算素养的考查不仅包括对数的运算，还包括对式的运算，兼顾对算理和逻辑推理的考查。对考生运算素养的考查主要是以含字母的式的运算为主，包括数字的计算、代数式和某些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、三角恒等变形、数列极限的计算、求导运算、概率计算、向量运算和几何图形中的计算等。

2.数学运算能力的主要特点

（1）综合性。从数学运算的过程看，数学运算能力的一个显著特点就是具有综合性。运算能力不可能独立地存在和发展，而是与思维能力、空间想象能力以及观察力、记忆力、理解力、想象力等一般能力互相渗透、互相支持的。记忆力是运算能力的助手，数学运算所需的基本公式及变形、运算法则、常用数据等都需要牢固、长久地记忆，这有利于复杂运算的进行。观察力、想象力是运算能力的起点。学生如果善于观察，就能够对问题进行深入理解，发现算式的特点，并对其进行有效的转化变形，可以提高运算的灵活性，否则就不可能选择合理的运算方法进行有效运算，甚至也发现不了运算结果中的不合理之处。数学运算常常作为解决问题、完成推理和判断的工具，这就要求把运算方法的选择、运算过程的优化、运算结果的取舍同一些复杂的推理、演绎有机地整合在一起。运算能力是综合能力的体现，它的培养离不开其他能力而孤立进行。

（2）层次性。数学运算能力的发展具有层次性，总是由简单到复杂、由低级到高级、由具体到抽象逐渐培养起来的。因此，对运算的认识和掌握也必然是逐步有序、有层次地进行。例如，不掌握实数运算就不可能进行复数运算，不掌握代数式的运算以及方程、不等式的求解运算就不能掌握超越运算。这种层次性也体现在运算中，如加减运算是最基本的运算，在此基础上，发展出了乘除运算、乘方运算、开方运算等，这些都体现了运算的层层递进的过程。数学运算能力是随着学生数学知识的不断增长、抽象程度的不断提高而逐步发展的。中学生数学运算能力发展可以分为以下三级水平：第一级水平为了解与理解运算的水平，指的是学生对数学运算的含义有感性的、初步的认识，能够（或会）在有关的问题中识别它，并进一步对运算的法则、公式、运算律等达到理性认识的水平，即不仅能够说出是什么、怎样得来的，而且要知道运算的作用和相互之间的联系；第二级水平为掌握应用运算的水平，指的是学生在了解与理解的基础上，通过练习形成技能，能够（或会）用运算去解决一些基本的常规问题；第三级水平为综合评价运算的水平，指的是能够综合运用多种运算，并达到灵活变换的程度，可以对同一问题采取不同的运算方案，并迅速准确地判断出最合理、最简捷的运算途径，从而形成高级阶段的能力。

（二）数学运算能力的意义与价值

数学运算能力是数学三大能力之一，它是数学能力结构中非常重要的一个能力构成。数学运算能力形成的中心环节，是准确把握运算目标，学会根据问题特点及运算的条件选择适当运算途径的策略，形成合理、简洁运算的意识和习惯。

（1）数学运算能力有利于其他数学能力的培养。由于数学运算能力具有综合性的特点，数学运算过程又是一个复杂的过程。那么，在进行数学运算能力培养时，首先，就要求学生对所学的数学知识的内涵、作用和用法熟练掌握。比如，学生要熟记数据和公式，这样才能正确、迅速地进行各种运算，要对数学概念或基础知识深入理解，这样运算时就会有理有据。其次，还要求学生具有较强的观察力。如果学生善于观察，能从问题特点入手，就能对问题进行有效的分解、组合变形，发现需要运用哪些数学知识来解决问题，才能获得运算结果的捷径，并能选择合理的运算方法和途径，也能觉察到运算中不合理的地方并及时改进。最后，培养学生的想象力。如果学生能够把数、式的运算与图形等其他数学表示形式联系起来，那么其运算过程就会灵活多变。运算中会涉及大量的、复杂的推理过程，这与数学思维能力紧密相关，体现了在深刻理解算理的基础上，能根据条件寻求合理、简捷的运算途径的水平。在培养发展学生数学运算能力的基础上，有益于培养学生其他的数学能力。

（2）促进学生理解数学符号化与形式化的特征。符号化与形式化是数学学科发展的重要特征，从数学发展的历史看数学学科的运算，从中可以看到数与运算的发展与数学的符号化与形式化进程相伴随，在发展过程中它们之间是互相推动和互相促进的。对于运算来说，运算对象和运算规律是其最基本的要素。数与运算的发展过程中，运算对象不断得到抽象和符号化，进而研究这些被符号表示的新的形式化对象的运算规律。在数学学习中，理解用字母表示数，是学会用符号表示数量关系和变化规律的基础。对符号表达的形式化的运算对象的意义的理解是掌握运算技能的基础。在运算能力培养的过程中应渗透这些思想，这有助于学生正确理解数学，树立正确的数学观，而不仅仅把数学理解为依据权威者规定的规则，对无意义的符号进行的形式化机械操作。

（3）有助于逻辑推理能力的培养。运算本身是代数研究的重要内容，项武义教授认为，代数问题就是运用运算和运算法则解决的问题，这样概括是有道理的。从某种意义上说，中学阶段，解方程问题、解不等式问题、对一些函数性质的研究等都是代数问题。代数问题的基本特点是不仅要证明在什么条件下解存在，而且要把解具体地构造出来。这是一种构造性的证明，运算和运算律是构成代数推理的基本要素。例如，讨论二元一次方程组时，不仅要证明在什么条件下二元一次方程组无解、有解，而且还会把解具体构造出来。在运算过程中，每一步运算都依据运算法则，运算法则的作用类似于几何证明中的公理，它是代数推理的前提和基本依据。运算过程本身就是代数推理的过程。因此，运算与推理有着紧密的联系。可以说，运算也是一种推理，运算可以证明问题，这是数学学习需要留给学生的重要的思想。因此，运算能力的培养对于学生的逻辑推理能力的培养同样具有重要作用。

（4）运算能力的培养促进了相关数学概念的理解。运算在中学数学中具有基础性作用，运算主要是为推理、演绎、判断或证明服务的。从数量和数量关系的角度来看，数学是建立在概念和符号的基础之上的，为了研究数量，先从数量中抽象出自然数及自然数的运算法则，根据运算的需要逐渐进行数的扩充：自然数与加法、整数与减法、有理数与除法、实数与极限；为了研究数量关系，定义了方程、不等式、函数、导数、微分、积分、微分方程。认识运算是进一步理解相关数学概念的基础。例如，对函数性质中单调性、奇偶性、周期性等重要概念的理解，都离不开运算，这些概念本质上就是对函数运算的某些特性的反映。对于基本初等函数的性质的研究，就是对这些函数解析式所反映的运算特性的研究。例如，二次函数的对称性，其本质是由平方运算的特性决定的。因此，在高中阶段，对二次函数的再认识的教学，就需要从函数解析式的角度，从运算特性来阐述和解读二次函数的轴对称性。又比如，等差数列和等比数列这两个概念，是以相邻项的差运算和商运算规律来定义的，因此从运算的特性入手进行教学，能够更深刻地理解这两个基本数列模型的特点。因此，教师在数学课堂教学中可以通过运算能力的培养，促进学生对相关数学概念的理解和掌握。

目前，加强和提高学生的运算能力已成为国际数学教育改革的重要内容之一。美国、日本、新加坡等国家对课程标准中的运算能力提出了相应的要求。比如，第三次国际数学与科学教育研讨会之后，美国进行了一系列针对运算能力的教育改革，提出“使用高效的与精确的运算方式进行运算是非常必要的，学生还应学会使用不同的运算方式与合理的运算规则进行复杂的运算，其中包括笔算、心算、估算等”。数学运算能力具有重要的意义和价值。

二、基于学生运算能力培养的教学改进研究方法与过程

随着基础教育数学课程改革的不断深入推进，数学教育界对运算能力越来越关注，逐渐形成一些共识：对学生的运算能力的培养是必需的，运算能力欠缺会制约学生数学能力的提高和问题的解决。通过基于对学生数学学科能力的测评和对数学教师课堂中对运算教学的观察分析，从中发现存在的一些问题，针对这些问题对数学课堂教学进行改进研究，从而更好地培养学生的运算能力，促进学生思维品质的提升。

（一）教学研究对象的选择

选取某地区的一所高中进行基于数学学科能力测评的课堂教学改进研究。在这所学校分别选择了高二和高三年级进行教学改进研究。为了提高研究中的针对性和有效性，研究中采用以点带面的方式进行，分别选择了两个年级各一位青年教师及其所教授的班级作为教学改进的主要研究对象，教学改进过程中以他们为点，带动整个学校教研组的教师在运算能力方面的教学改进，促进整个教研组团队的发展。

（二）主要研究方法

研究方法的基本范式主要有质的研究和量的研究两种。本次教学改进，采用了综合研究的方法。主要的研究方法有：问卷测试法、课堂观察法、访谈法、分析法等。

（1）问卷测试法。通过编制学科能力测试卷，深入了解学生数学学科能力的发展状况，寻找学生数学学科能力发展中的薄弱之处，作为课堂教学的改进点。

（2）课堂观察法。一方面现场观察，另一方面录制录像。通过对课堂观察和课后录像的深入分析，记录师生的课堂语言和行为，发现学生运算能力培养中存在的一些问题，为有针对性的教学改进提供依据。

（3）访谈法。通过课前和课后对教师面对面的访谈，进一步了解教师的教学设计、教学思路、困惑等隐性信息。通过对学生的访谈，了解学生对教学内容的掌握情况以及对教师教学实施的看法和意见等信息。

（4）分析法。收集教师教学改进前后四次教学设计稿、学生学案和作业、教师教学反思以及研究者的课堂观察笔记等，通过对以上资料的分析，探寻教学改进的措施，提炼基于发展学生数学运算能力的教学策略。

（三）具体研究过程

1.学生数学学科能力发展中的问题

2014年对本次教学改进学校所在区域进行了分层抽样测试，通过科学编制学科能力测试卷，经过对学生测试，深入了解区域学生在数学学科能力和核心知识上的表现，发现学生数学学科能力发展中存在的一些问题，聚焦教学改进的主题。具体见表4-4。

表4-4　区域学科能力测试各维度学生能力值得分

从上表中可以看出区域测试中，在能力维度上，学生在学习理解、实践应用、创造迁移三项的能力培养过程中，学习理解能力表现优于实践应用能力，实践应用能力优于创造迁移能力。在内容维度上，方程与不等式和函数部分较弱。

2.定位数学学科能力教学改进点

在参与区域大数据测试的学校中，根据测试出现的问题和学校的意愿，选择了本次改进的学校参与课堂教学改进研究，以便更好地诊断出学生在数学学科能力发展中存在的问题，科学编制数学学科能力前测试卷。2015年9月对参与课堂教学改进研究的学校及班级进行前测，进一步了解改进班级学生在核心知识和数学学科核心能力上的表现，寻找学生数学学科能力发展中的薄弱之处，定位数学学科能力教学改进点。具体前测结果见图4-5、图4-6和图4-7。(www.xing528.com)

图4-5　学生前测内容维度得分

图4-6　学生前测能力维度得分

图4-7　学生前测二级能力维度得分

从上面三个图可以看出，从内容维度看，学生在函数部分相对比较薄弱。从能力维度上看，学习理解＞实践应用＞创造迁移。这些结果与之前FT区的大样本数据是一致的。再从二级能力维度上看，“B1：分析计算”“C1：综合问题解决”“C2：猜想探究”比较薄弱。由大学教授、区域教研员和一线教师组成教学改进研究团队，对前测试卷进行仔细分析，结合区域大数据结果以及对前测结果的分析，发现学生的运算能力比较薄弱。因此，把运算能力作为主要改进点，以“直线与圆锥曲线的综合问题”“导数的应用”两节习题课作为运算能力改进的课题。

3.教学改进有效提高教学改进的针对性

在定位运算能力作为改进点和确定课题之后，教学改进团队按照“研磨—试讲—改进—正式讲—评价”的流程进行教学改进。具体如图4-8。

图4-8　教学改进流程图

在教学改进的过程中，教学改进团队从以下几方面进行教学改进的落实：

（1）教学设计文本分析聚焦学生运算能力发展。由大学教授、区域教研员等构成的研究团队对教师教学设计文本进行分析，从教学目标到活动设计，聚焦到如何更好地培养和发展学生的数学运算能力，提出切实可行的教学设计改进策略。

（2）课堂教学实施聚焦运算能力发展的落实。教师按照教学设计进行试讲，研究团队对试讲运用观察法进行分析，一方面现场观察，另一方面录制录像。通过对课堂观察和课后录像的深入分析，记录师生的课堂语言和行为，发现学生运算能力培养中存在的一些问题，为有针对性的教学改进提供依据。接下来进行课后研磨改进。研究的方向聚焦在对学生运算能力发展的培养的教学策略上，为一线教师的教学改进提供具体的、有针对性的指导。一线教师在研讨之后内化研究团队提出的教学改进策略，对教学设计进行再次改进，并再次进行正式的教学实施。研究团队对教师改进的教学设计与正式实施进行研究分析，通过前后两次研磨能够帮助一线教师认识自身教学设计与实施在运算能力发展的培养上的不足并加以改变，因为有了第二次的实施，教师能够通过教学，体验不同教学策略的效果，提高自身的教学水平，促进教师专业化发展。研究团队运用观察法对正式讲进行分析，课后进行评价，提出建议，促进授课教师对改进策略的理解和掌握。研究中为了使研究更有针对性，改进过程中设计了基于发展学生运算能力的教学观察表，见表4-5。

表4-5　基于运算能力的教学观察表

（3）以点带面促进团队教学改进。对教师的课堂教学进行评价和研究的目的旨在诊断与改进，改进的方向聚焦在学生运算能力发展的培养。“研磨—试讲—改进—正式讲—评价”环节的另外一个特点是选择两位教师及其教学为例，收集两位教师教学改进前后四次教学设计稿、学生学案和作业、教师教学反思以及研究者的课堂观察笔记等，通过对以上资料的分析，探寻教学改进的措施，提炼基于发展学生数学运算能力的教学策略，带动学校教研团队进行数学学科能力测试的研究，以点带面，提高学校教研团队在学生运算能力培养上的有效性。

（4）数学学科核心能力后测、学生访谈、教师反思三方评价改进效果。为了能够检测基于学生数学学科能力发展的教学改进效果，对学生进行数学学科能力后测，后测试题严格遵循命题规则。在整个研究中通过课前和课后对教师面对面的访谈，进一步了解教师的教学设计、教学思路、困惑等隐性信息。通过对学生的访谈，了解学生对教学内容的掌握情况，对教师教学实施的看法和意见等信息。通过对参与改进研究的学生和教师进行访谈，结合后测数据进行教学改进效果的评价。

三、教学改进主要研究结论与策略

（一）数学运算教学的现存问题

通过数学学科能力前测和课堂观察分析，当前的数学运算教学存在以下一些问题：

（1）教师缺乏对运算教学的正确认识。有些高中数学教师对运算的认识不够全面，教学力度不够，认为这是小学、初中数学的内容，高中课时紧、内容多，无暇顾及运算能力的训练，导致学生运算能力下降。实际上，运算能力不仅仅是算，数学运算能力的一个显著特点就是具有综合性。运算能力不可能独立存在和发展，而是与思维能力、空间想象能力以及观察力、记忆力、理解力、想象力等一般能力互相渗透、互相支持的。它是在有目的的数学运算活动中，能合理、灵活、正确地完成数学运算，包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力以及实施运算和计算的技能。

（2）对基础能力的培养还需加强。现实中，发现学生在数学学习中，并没有牢固掌握基础知识和基本技能，不注重对数学思想方法的归纳、反思和总结，是造成运算能力低的又一重要原因。由于学生不注重知识储备、数学概念模糊不清，从而导致运算失误。数学中公式众多，学生在应用数学公式或者性质解决问题时，由于记忆不准，导致运算失误。此外，由于数学语言不过关，加之数字、文字、符号、逻辑和图形等语言形式，在各类数学问题中交替运用，如果在理解上出现失误，也将会导致运算上的错误。

（3）缺少学习方法和分析方法的指导。通过测试和课堂观察发现，学生在掌握了基本知识和技能之后，运算时面临的主要困难就是如何探究运算方向、如何选择运算方法。数学课堂中教师对学习方法和分析方法的指导欠缺。教师要重视培养学生分析问题的能力，要给学生恰当的学习方法和分析方法的指导，很多学生在课堂上没有学会如何分析题意，不会根据问题的不同条件与特点，合理选择运算途径，没有明确的解题思路，运算方法的选择也不恰当，进而导致运算步骤烦琐，而步骤越烦琐，运算出错的可能性也会越大，形成了一个恶性循环。这就要求教师在课堂上要有意识地多进行学习方法和分析方法的指导，帮助学生学会学习、学会分析。

（二）教学改进的具体策略

在对两位教师两轮的教学改进过程中，整个教学改进团队针对运算能力的教学培养集思广益，形成了一些具体的改进策略。

（1）重视基本数学问题的教学，积累数学活动经验和基本数学模型。运算能力的形成需要经历从知识、技能到能力的转化，是一个由简单到综合的过程。这就需要教师重视基本数学问题的教学，以相应的知识为依据，使得学生理解有关知识，熟悉相关运算的程序。在这个教学过程中教师要本着“先慢后快”“先模仿后灵活”的原则，指导学生严格按步骤进行，并让学生做到步步有据，运算过程表述规范准确、条理清晰。教师在组织进行运算训练时，选择的题目既要达到一定的量，又要注意题目的典型性，要循序渐进地进行。接下来，让学生逐渐学会简化运算步骤，灵活运用公式、法则，以形成运算策略。通过这个过程，学生逐步积累了基本的数学活动经验和数学模型，并通过适当的综合训练，实现运算知识、技能的灵活迁移。教师要通过设计合理的教学环节帮助学生探究知识，教师由知识的传递者变为知识的引导者，从台前退到幕后，而学生冲上前，学生想、学生说、学生做，学生成为课堂的主要参与者，充分体会知识的形成过程，加深对知识本质的理解，获得分析、解决问题的一般方法。

（2）精心选取教学内容，合理安排教学环节。一提到运算能力的培养，大家就会想到大量练习题目。在教学改进过程中，通过试讲和正式讲的比较，发现数学问题的选取非常关键。数学问题的难度要适当，适合学生的已有基础，学生拿到问题后入手角度较多，解题方法多样，有利于发展学生的分析运算能力。通过题目将不同的知识联系起来，达到完善知识结构，培养思维灵活性的作用。问题的选取重在培养学生产生想法，强调一题多解的重要性，通过启发和指导学生从不同的层面、不同的角度、用不同的途径和不同的运算过程去分析、解决同一道数学问题。在每一节课中，教师要帮助学生学会观察、思考问题的方法和思路，提高综合素质和学科能力，这就需要精心选取数学问题，合理安排教学环节，并在课堂中细心倾听，分析学生的思路，正确引导，帮助学生突破分析运算的难点。

（3）加强良好运算习惯和学习方法的培养。良好的运算习惯是提高运算能力的重要条件。这里特别要强调，在运算技能的形成阶段，要让学生养成明确运算目标、运算步骤和步步有据的习惯。事实上，学生进行运算时都是依据相应的基础知识来使用具体的运算技能。选用的每一个运算步骤，也都是以相应的基础知识为指导的。然而，学生理解了基础知识并不等于形成了运算技能，因为从知识到技能还需要一个练习过程。这里特别要强调目标、步骤和依据。在课堂教学中，要做好学习方法的指导。比如，教师在指导学生如何探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序时，就需要强调审题的重要性，教会学生如何挖掘题目中的隐含条件。指导学生学会解决问题的一般步骤：①题目的分析；②解题策略的分析；③解题步骤的梳理；④学生动笔进行运算；⑤运算过程的分析和优化；⑥结论；⑦题目的小结反思。

在数学问题的分析中强调文字、图形、符号之间的转换，数学问题中数与式的表达，数学式的等价变形，数学问题的等价转化等。在数学问题的求解过程中强调解题策略和方法的择优、解题策略和方法的落实、运算求解过程中的算法指导、数学结论的问题解释。数学问题解决之后的反思，要强调基础知识的梳理、基本方法的提炼、基本技能的掌握、数学思想的凝练。