提升学生概括理解能力的数学解题研究

一、数学概括理解的含义、意义及过程

一般认为，数学是研究数量关系和空间形式的科学，在人们认识一类事物的数学本质或规律的过程中，需要把具体事物的特定数学属性或特征抽取出来，将这些事物的共同属性或本质特征结合起来进行思考，才能发现事物的数学本质或规律，人们一般把这个过程称为“抽象概括”过程。抽象是人们认识数学对象的基本途径，而在抽象的基础上对数学对象所具有的共同属性和本质特征的思维进行整合，体现了数学概括的能力。苏联学者克鲁捷茨基认为：“概括是数学头脑的特性，是人类智慧的重要指标。”在数学学习中容易获得成功的学生，往往因为他们具有较强的概括能力，肯定了数学概括能力在数学学习中的作用。蔡金法从数学的特点、思维、迁移及实证研究论述了“数学概括能力是数学能力的核心”，并认为学生的数学概括能力的培养促进了学生数学能力的发展。

我国在新课程改革中也提倡对学生“数学概括能力”的培养。《标准（2011年版）》中提出：“数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。”认同了概括在数学学科发展中的地位，强调在教学中要引导学生进行观察、分析、抽象概括地理解数学的本质，认为培养学生的概括能力具有重要的数学教育价值。高中数学课程标准及考试大纲中，强调学生要具有概括理解数学本质的能力，在考试中也逐步渗透对学生概括能力的考核。

概括是学生学习数学知识、概念及数学思想方法的重要思维形式，是学生理解数学本质的基本活动。一般认为，概括是学生进行数学理解的重要途径，在概括的基础上对数学本质的理解更加符合数学知识的学习规律。因此，可以把概括理解作为学生的核心数学能力。然而，这里的概括理解并非割裂抽象和概括的联系。抽象是更基础性、更一般性的数学理解，是学生进行概括活动的前提，而概括理解能力更加突出了概括对于数学学习的价值。

（一）学生对数学概括理解的含义与意义

客观事物本身具有多重属性和特征，数学抽象是指抛弃事物的形象和感官特征，把事物所具有的数量关系和空间形式特征提取出来，形成的对客观事物的数学认识。这些客观事物既包含形象的、具体的自然事物，也包含数学内部产生的数学概念、定理、法则或数学思想方法等数学对象，对数学对象的抽象比对自然事物更加复杂。在抽象出客观事物的数学特征后，人们更关心这些特征所呈现的共同属性，概括即是将这些共同属性、特征在头脑中融合，提炼数学本质或规律的思维过程，进而获得新的数学认识。抽取出研究对象的共同属性，通过比较、联系形成初步的数学认识，再进一步推广到一般情况，使之得到验证，形成对数学本质或规律的认识。这是通过概括对数学对象进行理解的一般过程。

不但数学概念是抽象概括的结果，数学的逻辑推理法则、方法也是抽象概括的结果，数学的高度概括性决定了数学的高度抽象性、严谨性及广泛应用性。数学的形式化符号体系自身就是自然语言的概括，而数学思维方法就是在形式化数学语言的基础上的进一步概括，是高度抽象的概括。因此，数学知识是通过抽象概括的方法逐步得到的，数学概括的对象不仅是具体的、可见的客观事物，而且也包含已有的数学概括结果。相对于加工材料，人们每一次通过概括得到的数学认识更能体现事物的数学规律或本质，体现了数学学习的进阶性。可以认为，数学学习的过程也是不断进行数学概括的过程。

对具体对象的概括一般形成数学概念，而对若干数学对象的概括其结果是形成数学规律，学生对数学概念和数学规律的认识都是通过概括的过程形成的。同时，他提出概括具有层次性，概括的方式分为再认型和发现型，概括的结果包括感性概括和理性概括，后者比前者具有更高的层次。学生在学习的过程中对新的数学对象的认识都经历过概括的过程，随着学习水平的提高，逐步由低层次的概括向高层次的概括转变。

因此，学生通过概括的过程理解数学的能力是学生数学学习能力的标杆，学生的概括理解能力较强，那么他理解新的数学概念、掌握新的数学规律的能力就越强，学生的概括理解能力是构成学生数学学习能力的核心要素。

（二）数学概括理解的一般过程

概括理解是学习者在已有的数学知识体系下，自主形成新的数学认识的过程。综合已有文献，一般认为概括理解数学知识的过程包括抽取、筛选、推广、确认四个阶段，这四个阶段相对独立，并且有相对的顺序性，但在实际的概括过程中，四个阶段并非简单的顺序排列，当在某一阶段出现矛盾或问题时，学习者会选择回到前面几个阶段重新思考。借鉴已有研究中对概括理解过程的阶段性描述，下面结合中学数学学习阐述在四个不同阶段学生的思维活动。

（1）抽取阶段。抽取是指从事物的复杂的属性或特征中抽离数学属性或特征的思维过程。学生根据学习的需要，舍弃对象的其他属性或特征，而关注对象的一种或一类数学属性或特征，并通过口语、文字、图形或符号表达出来。

例如，将三角形的三条边的边长从三角形中抽离出来，而不考虑三角形的角、三角形的位置或其他因素。这些被抽离出来的三角形的局部属性或特征并不能代表三角形的本质特征，而只是进行下一个阶段所需的材料。抽取不同于抽象，抽取只是对已经抽象了的数学属性的一种抽离方式。抽取出的一系列属性或特征需要学生通过某种方式进行表达，呈现出抽取的思维结果。例如，可以通过符号语言描述抽取出的三条边，分别是AB，BC，AC，在这一阶段并未对抽取出的对象进行逻辑加工。

（2）筛选阶段。筛选的过程是学习者对抽取的数学属性或特征进行逻辑思维加工的过程，思考这些特征或属性是否存在对立、包含、等价（不等价）、相容（相斥）、有序等关系，进行比较、区分、联系，并筛选出合理的关系。

例如，在抽取的三角形三条边的边长中，可能发现三条边都不相等的关系，或者会发现两边长度的和与第三边的长度存在不等的关系，这些关系的筛选需要学生进行逻辑推理选出来，并进行下一阶段的思维活动。在这一阶段，对学生的逻辑思维能力提出较高的要求，如果学生的逻辑思维水平较弱，筛选后的结果在下一阶段被证实不正确或没有价值，学生的概括思维会返回本阶段继续探索更合理的结果，使概括的过程反复进行。

（3）推广阶段。对于筛选得到的数学关系，是否具有一般意义呢？学生在这一阶段需要由特殊到一般进行推广，得到更加一般的结果。这种论断已经脱离了原有的具体的数学对象，而是更加一般的数学假设或猜想。例如，“三角形的三条边都不相等”“三角形的任意两条边的和大于第三边”等推广性假设。这些结果是学生在筛选的基础上进行推广得到的结论，是否合理仍需要进一步验证。

（4）确认阶段。对于第三阶段得到的一般性结果，需要进一步验证或证明，论证是否能够反映数学对象的本质属性或共同特征。如果验证结果是错误的，则证明推广的结论是不合理的，需要回到之前的阶段再进行分析；如果验证结果是正确的，就成为可以接受的新的数学结论。

例如，可以通过合情推理检验“三角形的任意两条边之和大于第三边”是正确的，那么学生便得到了更一般性的数学规律。然而，在不同的学习阶段学生的数学推理水平差异较大，低年级学生认为可靠的结论在高年级并不一定可靠，随着学生逻辑推理水平的提高，已有结论的可靠性和完备性仍需要检验。例如，实数的运算法则在随着年级的提高逐步由整数范围推广到有理数范围，而学生需要重新对法则进行检验和论证。

通过上述数学知识的概括理解4个阶段的过程，可以看出课堂上学生的概括理解能力一般是通过学习新的数学概念、定理、数学思想方法的过程表现出来的，学生在已有的知识的基础上进行迁移，从本质上讲这就是一种概括的过程。然而，学生概括理解的思维活动常常隐藏在学生行为之中，不易被察觉，教师需要让学生表达自己的想法，通过细心观察分析学生概括的阶段性过程中的问题或障碍，分析学生在各个阶段存在的思维问题。同时，由于学生的概括理解能力水平差异较大，因此学生在概括中的表现差异较大，教师不可盲目追求教学进度的一致性，而忽略个别学生产生的思维问题。

（三）数学概括理解的学习行为表现特征

学生在学习数学的过程中，对数学知识进行概括理解的思维活动分为四个阶段，即抽取阶段、筛选阶段、推广阶段、确定阶段。在课堂上，教师较难直接分析学生在此过程中存在的思维问题，却较容易从学生的学习行为方面了解学生是否参与了概括理解的过程，以及在参与此过程中的学习策略、态度及遇到的困难。因此，结合已有研究，需要分析学生在概括理解的过程中表现的学习行为特征，作为学生是否通过概括理解的途径进行学习的参考依据。

在概括理解的不同阶段，学生存在的一些思维障碍，包括概括的意识不强、概括的言语表达不够流畅、概括的逻辑推理不够严谨、概括不能得到确定性的目标等。概括是学生主体自发地应对新的数学对象产生的心理过程，而不是对教师提出问题的反应，概括理解的学习主体是学生而非教师。已有研究从学生学习心理、师生关系及课堂环节等方面刻画了学生在概括理解数学知识的过程中的学习特征，然而较少直接针对学生的行为特征进行归类分析。借助于对学生数学学习行为的观察及分析，结合概括理解的过程性，学生概括理解数学知识的自主性表现、渐进性表现、外显性表现、互动性表现、严谨性表现等行为特征被提取并刻画学生的概括理解行为。

第一，学生概括理解的学习行为具有自主性。学生的概括理解是其自身的心理活动，不能被教师的讲解或总结替代，只有主动地思考问题才能形成概括能力。课堂上教师所描述或书写的数学概念、定义、定理，以及为学生构造知识关系图、对已有知识进行总结等，虽然形式上是一种概括理解的结果，但其产生结果的主体是教师而非学生，并不是学生概括理解的学习行为。同时，学生自主思考的概括意识非常重要，这种意识受学习兴趣、学习态度的影响，是学生进行概括的关键因素。学生对数学对象自主进行概括的意识是概括行为的重要特征，主动地进行概括的学习行为，相对于被引导而进行概括的学习行为，表现了学生具有更强的概括理解能力。

第二，学生概括理解的行为具有渐进性。概括是一种由显性到隐性，由简单到复杂的过程，学生更容易接受直观的、感性的、再认知的概括，而对高度抽象的、理性的、发现型的概括缺乏信心。数学学习中的概括具有层次性，学生的发现型概括比再认型概括层次要高，理性概括比感性概括层次要高。因此，学生的概括理解的行为也是从较低层次向较高层次渐进的。教师需要按照学生认知心理发展规律逐步提高概括理解能力。(www.xing528.com)

第三，学生概括理解的行为具有外显性。数学是一种描述事物属性的语言和工具，学生概括理解事物的过程中，采用不同的数学语言表征数学对象的特征是概括理解数学知识的基本途径。学生的数学语言表达包括言语、符号、文字或图形等方面，即使用同一种语言表述数学对象，其表述方法及刻画对象的详细程度也不尽相同，这体现了学生概括理解数学对象的水平。学生对数学对象的概括理解的思维是通过其外显性数学语言呈现的，学生表达自己观点的水平体现了他的概括理解能力，教师也能通过学生学习过程中的外显性行为表现判断学生的概括理解层次。

第四，学生概括理解的学习行为具有互动性。概括理解数学对象的过程是一个人思考问题的过程，然而教师或其他学生的干扰或影响却不可忽略。教师对学生的指导能够帮助其梳理逻辑或思维问题，辅助学生进行正确的概念提取、属性归类、特征分析等活动。例如，在抽取阶段，如果学生从颜色、味道等非数学特征进行思考，或者抽取的关系没有逻辑联系，师生交流能有效引导学生进行正确的概括理解。同学之间的交流是教师不可替代的，学生更容易在与同伴的认识冲突中纠正认识上的错误。

第五，学生概括理解的学习行为具有严谨性。概括理解的严谨性是指学生能够依据数理逻辑合理地进行数学思考。学生概括某一类事物的共同特征时，对于合情推理方法、演绎推理方法的使用存在问题，不能严格地按照数学对象的逻辑性分析问题，猜测而不加以论证，用直观感受代替理性推理是学生常常出现的问题。学生即使有意识地进行理性推理，在推理过程中的严谨性仍存在较大问题。学生进行概括理解过程中的严谨性程度是其概括理解能力的重要表现，概括理解能力强的学生具有更加严谨的学习行为。

学生在概括理解数学知识过程中表现的行为特征，是由概括理解的阶段性、过程性和层次性所决定的。学生概括理解数学的学习行为特征，为教师在课堂上了解学生的概括理解过程提供了可操作的观察角度，便于从行为角度分析学生的学习心理特征。一般的课堂教学存在多个环节，如动手活动、例题讲解、习题练习等。尽管学生概括理解的行为普遍地蕴含其中，教师理应更加关注学生对本节课核心的数学概念或数学思想方法的概括理解过程。

为了使以上学习行为特征更加便于观察和记录，针对数学核心模块或环节设计了课堂教学的学习行为观察表，以五个行为表现特征为依据，呈现出能够描述概括理解过程的学习行为动词，用以记录学生的课堂核心模块的概括理解学习行为，见表4-2。

表4-2　课堂核心模块的概括理解学习行为观察表

表4-2为课堂上观察学生的概括理解学习行为提供了参考的依据和工具。对于每一个学习行为特征，这些行为动词反映了学生是否进行具有该学习行为特征的活动，作为衡量学生进行概括理解学习行为的参考依据。值得注意的是，由于概括理解的四个阶段的相对有序关系，以及它们的非线性特征、可重复性等复杂情况，教师并不能将每个行为动词归类到某一个阶段内，同一个学习行为动词反映的内容可能贯穿一个或几个阶段。

二、基于学生概括理解能力培养的教学改进研究方法

2014年，在国家级重点项目“中小学学科核心能力表现测评及研究”中，项目组对某市三个区的学生进行数学核心能力表现测评研究，分析学生的数学能力表现状况，将学生的概括理解能力作为学生学习理解能力的核心指标之一，备受研究者的关注。通过对测评结果的分析，发现学生的概括理解能力表现相对较弱，许多学校从七年级至高三阶段，学生的学习理解能力存在显著的下降趋势。学生概括理解能力是学生数学学习理解能力的指标，为了提升学生的概括理解能力，项目组选择在该市测试区的两所学校，开展了基于学生概括理解能力提升的教学改进研究，有针对性地组织和改善教学活动，促进学生概括理解能力的提高。

（一）教学改进研究对象分析

根据测试区域学生的数学能力的整体表现，本书选择了某地区的两所学校作为代表开展研究。学校A是一所区级示范初中，学校B是一所普通高中，两所学校能够代表本区域学校的教学水平。参与项目的A校选择了九年级的两个班级作为教学对象，共计62名学生，B校选择了高二年级的三个班级，共计93名学生。参与项目研究的还包括本年级数名数学授课教师，以及两所学校的数学备课组全体教师。研究采用了以点带面的方式进行，以两位教师及其所在年级的几个班级作为授课对象，依次进行教学改进，进而带动整个学校教研组的教师的教学改进。

表4-3　研究对象基本信息表

（二）教学改进的具体程序化步骤

学生概括理解能力的教学改进，是根据学生数学学科核心能力培养的教学改进的基本范式开展的，并结合所在学校的具体情况及选取内容合理调整教学改进步骤进行的。基于对学生的概括理解能力的理论梳理，在前期对学生概括理解能力进行了测评，并通过课堂观察发现教学问题，进而对教学采取相应的干预措施，使教学能够促进学生概括理解能力的发展。结合实际的教学情况，项目组研制了此次教学改进程序并依次开展教学改进活动。

第一阶段，对学生的概括理解能力进行评价，并根据实际课堂分析影响学生能力培养的教学因素。首先，对学生的概括理解能力进行测评工作。为了了解本校学生的概括理解能力发展状况，在区域大规模测试的基础上，项目组修订了测评工具，对研究对象重新进行能力测评。测评工作提高了教学改进的针对性，也为后期对教学改进效果的评价提供了参考依据。其次，根据学生的实际学习环境进行课堂教学问题诊断。通过课堂教学观察了解教师的实际教学情况，分析教学中不利于学生概括理解能力培养的因素，这些因素既包含教师的个性特质，也包含对课堂中的师生互动、教学方式、教学策略的考查，多层次、多角度分析教学中的问题。在此基础上，结合“课堂核心模块的概括理解学习行为观察表”，对该教师的课堂教学实际情况进行观察，分析学生在学习中对于核心内容的学习在概括理解方面的呈现情况。

第二阶段，根据发现的问题，对教师的教学行为进行干预，在反复备课的基础上进行教学改进。本次教学改进经历三轮“教学方案改进—实际授课及听评—教学反思及研讨”的过程，在逐步打磨的过程中形成了最终的教学策略和活动方案。

教学活动设计体现了教师的基本教学思路和策略，通过教学活动设计的改进，聚焦学生概括理解能力发展，使得课堂教学更具有针对性。在教学设计改进的过程中，应更关注教学环节如何与学生的概括理解能力培养有效结合，根据磨课过程中学生的表现，对课堂核心内容的教学制定相应的教学方案。

对于每一节课，项目组研究人员对课堂实施观察和评价。发现教学中出现的问题离不开对课堂实施过程的直接观察和评价，根据实际教学情况，实时对课堂产生的问题做记录。课堂实施的观察和评价表有利于项目组发现课堂教学中存在的问题并反馈给授课教师，深化教师对学生概括理解过程产生的学习问题的认识。通过教学研讨、教师反思和学生访谈等多种方式进一步分析课堂的实际效果。通过教学研讨，项目组与一线教师及授课教师共同评课，分析课堂对于学生概括理解能力提高的效果，提出改进的策略和具体方案；通过教师反思，了解其在教学实施中存在的困难，以及对学生学习情况的认识，分析教学改进的具体问题；通过对学生访谈，了解其在课堂的感受，以及对数学概念、定理或思想方法的认识程度，分析学习效果。

第三阶段，对整体的教学改进进行效果评价。在教学改进研究后期，对学生做了数学概括理解能力后测，以量化的手段分析教学改进的效果。教学改进后测与前测结果是分析教学改进效果的重要依据。最终基于教学改进的整个过程，分析学生在教学改进中的表现，提出促进学生概括理解能力提升的教学建议。

教学改进的程序化步骤如图4-4所示。

图4-4　基于概括理解能力提升的教学改进研究过程