数学解题策略应遵循的原则及能力培养

数学解题是一种高级心理活动的思维过程。系统科学理论中的三条基本原理联系着思维科学监控结构的三个主要构件。通过研究，发现在解题思维过程中人们思维活动中的监控结构，它的要素主要表现为三个：定向、控制和调节。定向，是确定思维的意向，即确定思考过程的方向；控制，是控制思维活动内外的信息量，排除思维课题外的干扰和暗示，删除思维过程中多余和错误的因素；调节，是及时调节思维活动的进程，修改行动的方针、方式和方法，提高思维活动的效率和速度。人们在解题思维决策过程中，是以数学解题策略应遵循的原则为依据进行数学解题策略的定向、控制和调节的。数学解题策略应遵循的原则主要有：明确的目的性原则、熟悉化原则（定向）、简单化原则、具体化原则（控制）、和谐化原则、审查分析问题的全面性原则（包括逆向思维原则）（调节）。^[1]下面，分述这些原则。

一、明确的目的性原则

没有明确的目的或无目标地去寻求方法，必然是徒劳无益的，解题必须有明确的目的，解题的目的不明，就无法确定解题策略。如何实现题目的要求是解题策略思想的核心，有此核心就能有的放矢地在定向分析中探索和研究处理问题的策略。离此核心解题只能漫无目的地瞎碰乱撞，其策略必然错误，其结果必然失败。明确的目的性原则是解题策略应遵循的首要原则。

设点P的坐标为（a，b），则

因点P在直线x+3y-6=0上，故

遇到较繁杂的问题，更需明确目的，并全力找出其关键所在，在不断明确和瞄准问题的最终目标的过程中，发现问题的真谛，以制定最优的解题策略。

二、熟悉化原则

熟悉化原则要求解题策略应有利于把陌生的问题定向转化为与之有关的熟悉的问题，便于利用人们所熟悉的知识与方法来解决问题。

例2　平面内有n个两两相交的圆，并且任意三个圆不经过同一点。试问，这n个圆把平面分成多少个区域？

分析　这是一个比较陌生的问题（中学课本中没见过的题型）。如果设n个圆把平面分成an个区域，那么，当n取1，2，3，…时，对应的区域数便组成一个数列。数列是学生熟悉的知识，只要能求出这个数列的递推公式就可以求出an了。

显然a1=2，a2=4。在n-1个圆的基础上再增加一个圆，这个圆和原来的n-1个圆中的每一个圆都有两个交点，一共有2（n-1）个交点，把新增加的圆分为2（n-1）段弧，而每段弧都将原来的一个区域分为两个区域，故由an=an-1+2（n-1），得an=n 2-n+2为所求。

三、简单化原则

简单化原则是指解题策略应有利于把较复杂的问题转化为较简单的问题，把较复杂的形式转化为较简单的形式，控制策略的选择，使问题易于解决。

例3　设直线l：（2a+1）x+（a+1）y=7a+4（a∈R），圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，证明：不论a取什么实数，直线l和圆C都有两个交点。

思路1　将直线l的方程中y代入圆C的方程利用判别式法来证明（证明Δ＞0）。

思路2　证明圆心到直线l的距离小于圆C的半径的长，问题可得证。

如上思路都可行，但计算麻烦一些，不如下面的思路容易实施。

四、具体化原则

具体化原则要求解题策略能使问题中的各种概念以及概念之间的相互关系具体明确，有利于把一般原则、一般规律应用到问题中去，尽可能对于抽象的式用具体的形，或对抽象的形用具体的式表示，以用于揭示问题的本质来控制策略的选择。

图3-1

五、和谐化原则

和谐化原则强调策略利用数学问题的特有性质，如正与反、内与外、分与合等和谐统一的特点，进行恰当地调节，建立必要的联系，以利于问题的转化和解决。

例5　如图3-2，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2。若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a，c为常数，求四面体ABCD体积的最大值。(www.xing528.com)

图3-2

从该题可以看出，由条件联想到椭圆定义，然后将问题转化为直观的椭圆中的数量关系来解，是非常重要的一步。

六、分析问题的全面性原则

分析问题的全面性原则是指制定解题策略时要针对复杂多变的数学题从多侧面、多角度地分析、思考（包括逆向思维），运用多方面的知识，由此从得出的各种方案中调节、选取最佳策略。

数学题的构造变化复杂多端，特别是某些综合题，涉及的知识常常改变了原来的面貌，解决问题的思路主线不易，抓住，就需要解题者对扑朔迷离的表象进行由表及里、去伪存真地全面审查分析，加工改造，从不同的方向探索，才会顺利地解决。

例6　如图3-3，在平面上给出某个点集M，使得M中每个点都是点集M中某两点连接线段的中点，证明：集合M中一定包含无穷多个点。

图3-3

分析　此题从正面无法证明，按分析问题的全面性原则，可用逆向思维，并从多角度考虑。若集合M中只含有有限个点，则两点之间的距离只有有限个值，其中必有最大值，不妨设A，B两点之间有最大距离。由已知条件，B一定是某线段CD的中点，且点C，D属于M，若点C在直线AB上，则点D也在直线AB上，且若点C，A在点B的同侧，则点C，D在点AB的异侧，这时AD＞AB，与AB最大矛盾。若点C不在直线AB上，则点D不在直线AB上，且C，D在直线AB的异侧，若延长AB到点A’，使BA´=AB，易证DA´=AC，AC+AD=AD+DA ’＞AA’=2AB，AC与AD之一必然大于AB（若AC≤AB，AD≤AB，AC+AD≤2AB，与前不等式矛盾）。不妨设AD＞AB，又与AB有最大矛盾，故M中有有限个点不成立，集合M一定有无穷多个点。

在广阔范围内考虑问题，了解事物的特点和联系，是分析问题的全面性原则的核心思想。解题能力不强的人，主要原因是思路狭窄，若能开阔思路，考虑到更多的知识和方法，定会有柳暗花明之感。

综上所述，明确的目的性原则、熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、和谐化原则、分析问题的全面性原则都是制定解题策略应遵循的基本原则。它们之间既有区别，又有联系，是相辅相成的。对一道数学题，特别是较复杂的数学题，学生应该有目的的、全面的按熟悉、具体、和谐、简单的原则选择较佳的解题策略，从而实现解题的目的。