数学形象思维策略的研究成果

一、数学形象思维的概念界定

关于数学形象思维的概念有以下几种主流界定。

（1）从生理学、心理学的理论和事实出发，把数学形象思维看作是一种思维活动。这种思维活动往往需要经历这样一个过程：当人脑与数学对象接触时，人体感观所获得并储存于大脑中的数学形象信息对其展开比较、分析、抽象等，从而得到体现事物共性或本质的相关意象，接着以这些意象为基础，用联想、类比、想象等方法进一步寻求数学对象的内在本质和规律。郭思乐以数学形象思维的起源和发展过程为基础，对数学形象思维进行概括，他认为数学形象思维活动的作用对象是“数学表象”，对数学表象进行进一步加工后形成“数学意象”，用数学化的语言和技巧对数学意象进行剖析，最终得到数学对象的本质特征。

（2）数学形象思维是对各种形象进行思考、表述，从而形成数学问题的一种思维活动。通过形象思维能够看清数学问题的本质，实现教学活动的创新进步。数学形象思维包括意象、联想、想象三种类型。简单来说，数学形象思维首先得具有意象，在意象发展到一定程度时，才形成联想、想象。

（3）数学形象思维凭借数学具体形象产生思维，并利用形象展开思维，与数学逻辑思维相互结合、相互联系，并且指出高中数学中的形象思维是经过加工整理出来的理想形象，如几何图形、函数图像、图示、图表、逻辑直观图等，甚至还包括个人在思考一些较难的问题时临时设想的奇妙的直观表示。这种对数学形象思维的观点，说明了数学形象思维与数学抽象思维在数学思维活动中是相互联系、相互结合的，是辩证统一的关系。在此基础上，傅海伦教授进一步强调了数学形象思维在中学数学学习过程中的重要性。

（4）数学形象思维活动就是借助“数学形象”来思考、表达以及展开数学问题的思维活动，且数学形象的选取必须建立在所有数学对象的加工和整合之上。需要强调，此处的“数学对象”既代表各种具体的实物、图形、模型，也代表各种数学的概念、定理、公式等。从周实然对数学形象思维的论述中我们可以知道：①数学形象思维的活动过程建立在数学对象的形象加工之上，逻辑思维不同，数学对象的形象加工方向也有所差异。②数学形象思维活动的作用对象不止有具体实物、模型、几何图形，还有代数方面的数学概念、定理、公式等。

通过对上述观点进行梳理和整合，本书将数学形象思维看作是在人脑和数学对象接触时，以“典型化概括”的手段对数学对象的“数学形象”进行加工与整合，以数学逻辑语言揭示数学对象的本质和规律的一种思维活动。此外，数学形象思维作用的数学对象不止包括几何表象，还包括所有具有数学特征的图形、表格、概念、定理等。

二、数学形象思维的主要特点

从数学形象思维的定义出发，数学形象思维不仅从属于一般形象思维，而且从属于数学思维，它是形象思维、数学思维两者的综合体。也就是说，数学形象思维同时具有形象思维和数学思维的特征。数学形象思维主要具有形象性与直观性、逻辑性、对立统一性、创造性四个特点，下面对其具体描述。

（一）形象性与直观性

数学形象思维活动的中心是“数学形象”，整个活动紧紧围绕它而展开。数学形象不仅包括几何图形、图像，还包括富含抽象意义的各种代数解析式、定义、定理、公式等。数学形象思维活动需要对数学形象进行加工、整合，并借助联想和想象两种方法展开思维活动。在这个过程中，大脑会循环往复地从旧的数学形象中概括、整合得到新的数学形象。从这个方面出发，我们知道：①数学形象思维活动主要是对数学形象进行加工和整合，即思维过程具有形象性。②数学形象思维活动的结果是旧数学形象到新数学形象的转变，即数学形象思维活动的结果具有形象性。此外，需要注意此处提到的“数学形象”，并非狭义上的“直观形象”，它具有抽象性，而且不同于逻辑思维的抽象性。对数学思维活动来说，数学思维的抽象性和形象性相互作用、相互影响，是既对立又统一的综合体。

（二）逻辑性

数学形象思维从属于数学思维，因此它具有数学思维的逻辑性。林崇德先生在定义形象逻辑思维时，他提出：数学形象思维是以表象为基础，通过生动形象的语言让其充满情绪色彩的一种思维活动，形象逻辑思维活动和抽象思维息息相关。数学形象思维的逻辑性主要表现在：

（1）数学形象思维活动的对象通常为富含逻辑性的数学材料。数学形象思维的作用对象不仅包括几何图形，而且包括数学中的定理、命题、公式、法则及部分元素（如点、线、面、集合、函数、矩阵等）。也就是说，数学形象思维活动的数学材料和数学逻辑思维活动的数学材料相同，而数学逻辑思维活动具有逻辑性，因此数学形象思维活动的数学材料也具有逻辑性。不过需要注意，数学形象思维和数学逻辑思维在思维活动发生过程中所采用的方法是不一样的。

（2）数学形象思维活动的过程具有逻辑性。由于数学形象思维活动是人脑对数学对象及数学对象之间相互关系的反映，在进行数学思维活动的时候，数学形象思维需要数学抽象思维和逻辑化数学语言的指导、协助和制约，因此数学形象思维活动的过程无法脱离逻辑而单独存在。尽管数学形象思维的活动过程和数学逻辑思维不一样，不过数学形象思维活动的开展建立在概括和整合之上，而且概括和表述中离不开逻辑化数学语言的运用。因此，它的发生过程富含逻辑性。

（三）对立统一性

数学形象思维和数学抽象思维两者可以近似看作是一种“二元互动”的关系，也就是说在数学思维活动中，数学形象思维和数学抽象思维相互渗透、相互结合、轮流运用。数学形象思维活动不仅具有形象性，而且具有抽象概括性，这和上面提到的“数学形象思维活动直观性”大相径庭。数学形象思维和数学抽象思维的对立统一性主要体现在：

（1）数学活动中形象材料和抽象材料两者相互渗透、相互转化，具有对立统一的关系。就几何学上的点、线、面来说，它们都是现实生活不具有的，它们只是现实生活中某一特定物体的抽象和加工。当然，也可以说它们是抽象概念的形象加工。

（2）当大脑和数学对象发生反应时，通常是从情境出发决定选择数学抽象思维还是数学形象思维。数学形象思维是数学思维活动的前提，获取数学概念、解决数学问题等都离不开数学形象思维。在数学形象思维建立后，数学逻辑思维才能进行深入地比较、分析、归纳和演绎，才能有效解决数学问题。综上所述，数学问题的解决需要数学形象思维和数学逻辑思维的共同发力，缺一不可。

（3）数学形象思维活动的结果需要借助数学抽象思维展开描述。数学形象思维活动是大脑对数学图像、关系等数学材料进行形象化加工的过程，它和逻辑思维的线性加工过程不一样。数学形象思维活动以多种数学形象为前提，没有固定的程序，具有多样性、综合性、动态性、模糊性的特点。因此，对数学问题或者数学对象不可能展开全面描述。从这个方面来看，数学形象思维虽具有一定的意识形态，但由于这种意识形态仅为大脑对数学形象特征的意识性理解，因此不能进行抽象描述。不过，通过数学抽象思维活动，能把形象的思维转化为抽象的思维，再加入抽象化的数学语言，就实现了数学形象思维的抽象表达。

（四）创造性

爱因斯坦曾说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。”^[3]由此可见，想象力（创造性）是影响科学研究的一个重要因素。数学形象思维同样具有创造性，它表现在：

（1）数学形象思维活动的结果具有一定的创造性。数学形象思维活动需要对原有数学形象进行概括、整合、加工，最后得到一个新数学形象，这个新形象不同于旧形象，它具有创新性。就中国古代魏晋南北朝时期创立的割圆术来看，当时并不存在极限理论，刘徽就是通过数学的创造性思维才得出的结论。

（2）数学形象思维活动的过程具有一定的跳跃性。数学形象思维活动的过程没有特定的逻辑规则，尽管有时候会存在逻辑性的分析与整合，不过这种逻辑性通常带有跳跃性的特点，在这种特点的影响之下，数学认知不同于之前，即实现了创造。此外，数学思维活动过程的跳跃性与不确定性通常让数学形象思维活动的结果也具有创造性与猜测性。

三、数学形象思维的层次划分

数学形象思维虽然也属于思维的一种，但却有着不一样的特性，它的层次性非常明显。按照它所具有的思维特性，划分出了下列几个层次：

第一，几何思维。它是所有的思维活动里面最能直接明了表达出的思维，多在一些比较直观或者是需要进行仔细研究的问题上使用。一般能使用几何学来进行研究的都是一些几何图形，并且还将几何图形通过运用到实际物像的条件下，对逻辑进行一定的改善和加工，才能让几何图形更理性化。因此，可以将数学思维活动划分为以下几个环节：首先，就是把具体的图形采取抽象的方式进行加工。其次，就是把这两种几何图形相互结合在一起。例如，几何图形放在人们面前的时候人们就能够将实际的图形想象出来，之后就能够得出相应的几何关系。最后，发展个体需要遵循进化的规律，并且对于遵守这些规则的人来讲，应该具有统一的理性思维发展，几何学习思维运用到数学学习中能够帮助几何思维的发展。

第二，类几何思维。这种思维是根据几何空间关系的情况，通过想象而得出来的一种思维，属于间接产生的。虽然这种思维并没有正常几何思维所带有的直接成效，但是却能够发挥出相似于几何思维的效果。这种类型的几何思维所形成的条件都是需要几何思维进行帮助的，同时也通过几何思维来进行扩展。例如，可以利用平面几何法把几何问题变换成为代数问题进行计算，这种方式就是类几何思维。在高中数学教育里面，能够体现出类几何思维运用方式的就是数形结合。

第三，数觉。主要指的就是将数量关系通过想象化体现出来，带给人的感觉是比较抽象、神秘的。想要得到科学的肯定，最不能缺少的就是要具有一定的想象力以及判断力，只是依靠于逻辑肯定是不行的。不能把数觉和数学直觉相互混淆，在学习数学的时候，特别是在研究数学科学的时候，都不能忽视数觉的作用。

第四，数学观念的直觉。主要指的是将数学观念所涉及的本质、关系以及组合等环节进行形象化所带来的效果，尽管不能通过逻辑语言将这种感觉描述出来，但是却能够在思维活动里面占据着重要的位置，并充分表明自己的作用。想要通过语言将数学观念直觉表述出来是非常困难的，这种直觉有三种主要的特性：洞察性、猜测性、启发性。

在这里需要重点注意的就是，最后两个层次里面的数学思维活动都是将重点放在数学直觉思维上面。因此，在研究这种思维的时候很多人都觉得要按照几何思维的观点去考虑，之后根据实际情况考虑是否去进行延伸和探索，根据高中数学的知识特征，来判定高中数学思维的组成要素。

四、数学形象思维的构成要素

以上分析了数学形象思维所具有的特征以及理论知识，并且作者按照所需要的思维活动对象的差异以及思维过程所具有的困难性，可以把数学形象思维按照不同的组成要素进行划分：数学表象、数学直感和数学想象。

（一）数学表象

1.数学表象的概念界定

数学表象按照自身的特征划分为三种：第一种是抽象性，第二种是概括性，第三种是理想性。在数学逻辑的帮助下才能够使数学表象在典型化的基础上进行加工，并最终得出数学形象。换句话讲，数学表象都是根据人的大脑形成的，并且还在此基础上对结构进行了总结，因此也就形成了这三种特性。数学表象能够具有很多种不同的基础条件，例如实际事物、几何图形、数学符号以及数学图表等。

2.数学表象类型

数学表象能够有着很多不一样的类型，根据划分标准的区别得到的结果也是不一样的。按照数学表象概括性能够划分出两种类型：一种是个别表象，另一种则是一般表象；按照数学表象的作用对象来进行划分的话可以分为图形和图式两种表象；按照功能划分的话有记忆表象和想象表象；而按照它的结构复杂度来划分的话能够分为两种：其一是单象，其二是复合象。下列主要针对前两种进行讲解。

（1）按照它的概括程度进行的划分，首先就是个别表象，它是通过将具体事物传入大脑想象出来的，而一般表象指的就是将某类事物通过脑海的想象将事物复原的过程。通常一般表象能够展现出来的都是很多的个别表象里面所包含的特定关系和结构。比如，在人的脑海当中可以将黑板、橡皮擦等物质想象成不同的个别表象，并且能够根据所得出来的长方体从而将它的一般形象总结出来，这一过程就是整个表象形成的环节。在数学教育中，不同的几何图形都是在实际的事物基础上总结和加工出来的，而加工最不能缺少点、线、面这几种元素。因此，数学表象思维一般都是通过个别表象开始发展成为一般表象的，而数学表象具有的机制一般都是从个别表象开始，沿着一般表象来进行的。所以在数学形象思维活动过程中，数学表象的产生过程可以描述为：数学形象—数学表象—更一般性的数学表象。

（2）按照它的作用对象来进行的划分。数学表象思维都是通过实际的物体原型作为基础条件，同时也有一些数学符号、公式、图像等这种比较抽象的东西。经过人脑的转化能够将数学表象进行不同类别的划分：一种就是图形表象，另外一种就是图式表象。图形表象也被称为几何型表象，就好像椭圆、抛物线等等，这些图像通过人脑的转化可以展示出不一样的几何形象。而图式表象还可以称之为代数型表象，而图式表象都是根据数学符号和公式计算出来的结果，同时也是因为有了这样的图式表象才能够帮助数学公式形成有效的载体。

3.数学表象思维的特征

可以将数学表象特征划分为两种形式：一种是直观性，另外一种是概括性。

直观性主要针对数学表象思维所形成的结果来讲，而通过数学表象就能够清楚地展示出真实的事物本质。比如，如果用大脑去想象出一个球形的样子，就能够根据大脑的想象看到真实的样子，但是不能和肉眼相比较，并且还带有一定的直观性以及朦胧感。

概括性主要是针对数学表象思维的形成步骤来讲的，而这一过程主要就是对相同类型的教学对象进行总结和统一，同时也能够将数学对象具有的性质展现出来。比如，利用三角函数进行数学求解的时候就会在脑海当中映射出函数图像的样子，也正是通过这种概括性比较强的图形才能够将三角函数计算出来。

4.数学表象思维的主要过程

根据大量的实验和分析得出，这种数学表象思维都是根据一定的顺序来进行深化的，同时也开始渐渐产生了空间观念。下列主要讲述了数学表象思维的几个重要的过程：

第一步：数学形象特征是根据实际物体、关系式以及模型来进行的总结和统一，以此就可以得出图形以及图式表象。

第二步：通过进行数学表象的加工，展现它的具体对象所具有的实际特征，并将示意图绘画出来。

第三步：根据绘制出的示意图，将数学对象的构成因素进行分解。

第四步：在数学符号以及文字的帮助下来对图形进行详细描述。

综上所述，大脑能够对数学对象进行适当的加工从而形成表象思维。同时，也需要合理地运用好它的数学语言以及符号。上述的观点可以反映出数学形象思维之间的统一性以及渗透性。

5.数学表象思维在高中数学学习的重要作用

学习高中数学的时候不能缺少数学表象思维，而这一过程也是有效解决数学问题的重要方式。

第一，数学表象思维能够帮助解决和处理数学问题。比如，在学习三角函数的时候通常根据下列的过程来进行处理和计算：首先就是要将三角函数图像绘制出来，其次再根据画出的三角函数图像进行深刻分析和研究，最后还会对学生进行相应的练习和培训。(www.xing528.com)

第二，数学表象思维也能够让数学知识更易理解和消化。比如，在进行指数和对数相互对比的时候，一般人们都会根据它们相对应的函数图像来进行比较。因此，一般都要将函数绘制出来。对于学生来讲，如果能够将函数图像牢牢地印在脑中的话，不用绘制图像就能够简单地解决这些问题。

（二）数学直感

1.数学直感的概念界定

直感指的是通过事物表象的判断而产生对具体事物的直接感知和判别，而数学直感则是指通过对熟悉表象的判断而产生的对数学形象特征的直接感知和判别。数学直感和抽象思维判断是有本质区别的，抽象思维判断结果的产生依赖于概念，是对概念逻辑化的分析和推演，而数学直感的产生过程是一个对数学形象进行识别和判断的思维过程，这个思维过程并不以概念为基础。数学直感的产生更加直接，是对形象思维规律的直观感知，一个大脑通过将神经画像网络里关于数学的一般表象（理性意象）和对数学形象的感性印象进行对比得出相应的数学直感。数学直感的形成既是对个别形象的整理融合，也是对整体形象的分化解析。数学直感思维活动识别和判断数学表象的思维活动，这个过程在数学形象思维活动中至关重要。数学直感思维是可以训练和培养的，数学直感思维的训练、培养应建立在对数学表象系统充分认识的基础上。根据数学表象的特征编排整理数学表象系统，将不同类型的数学表象进行分类，可以提升数学直感思维训练和培养的效果。

2.数学直感的类型划分

数学直感可以按照思维活动的复杂度划分为四个类型：模式补形直感、形象识别直感、形象相似直感以及象质转换直感。

模式补形直感指的是凭借现有的数学表象对形象特征结构不完整的、残缺不全的数学对象形象补全的一种思维活动。模式补形直感的来源是对已有数学表象的补全，因此模式补形直感的强弱取决于大脑里数学表象系统的完善程度和数学表象内容的丰富程度。如果大脑里数学表象系统不够完善或者数学表象内容匮乏，模式补形直感就无法有效产生。高中很多数学问题的解决都需要依赖模式补形直感来完成。模式补形直感伴随着局部到整体的转变过程。

形象识别直感指的是从数学对象的实际结构特征来判别数学个象类型的一种思维方式。形象识别直感是数学学习的基础直感形式，在高中数学的学习过程里具有重要作用，举一反三是最常见的形象识别直感运用方式。形象识别直感在图形整合或分解后、数学式子变式后以及图形位置变化后的再辨认中得到集中体现。和模式识别直感相比，形象识别直感作用的数学情境完全不同，模式补形直感是局部、部分到整体的转变，而形象识别直感则是一个分类、判别的过程。

形象相似直感是大脑对数学形象识别的一种方式，通过形象相似直感可以寻找到与要识别的数学形象最相似的数学表象。形象相似直感产生的前提是大脑既无法通过模式补形直感对要识别的数学形象进行整合、补全，也无法通过形象识别直感对要识别的数学形象进行同质判别。形象相似直感是联想、猜想、类比等思维活动的基础，根据作用对象的不同，将形象相似直感划分为图式相似直感和图形相似直感两大类。

象质转换直感指的是通过数学表象的差异与变化来对数学对象质异、质变进行判别的一种思维活动。数学本质和数学表象一内一外，数学本质的变化与数学表象的变化同时存在、同时发生，数学表象的变化体现数学本质的变化，数学本质的变化引发数学表象的变化，象质转换直感体现了数学思维相似律。因此，往往把数学形象思维活动中数学表象的变化作为判别数学本质变化的依据和标识。以三角函数为例，三角函数表达式中系数的改变会引起三角函数图像的改变，而三角函数图像的改变能够体现三角函数表达式中系数的变化，其中三角函数表达式中系数的改变就是数学本质的变化，而三角函数图像最高点与最低点的变化则是数学表象的变化。

（三）数学想象

1.数学想象的概念界定

想象是对大脑中已经存在的表象进行改造和整合的一个思维过程，通过想象可以在原有表象的基础上形成新的表象。数学表象是数学想象的基础，也是其思维活动的原材料，通过数学直感思维，对数学表象进行改造、加工，从而产生新的数学表象。因此可以认为，数学想象是数学直感思维和数学表象思维共同作用的结果，是二者的有机结合。相比于数学直感思维活动和数学表象思维活动，数学想象思维活动更加抽象化。

2.数学想象的类型划分

数学想象有很多种分类方法，从不同的角度出发可以得到不同的结果。目前，最主流的分类方法是根据作用对象进行分类的。根据不同的数学形象作用对象，可以把数学想象划分为图式想象和图形想象两大类。其他的数学想象分类方法还有根据数学想象的创造性分类、根据数学想象的意图分类、根据数学想象的生理性分类等。根据数学想象的创造性可以把数学想象划分为创作想象和再造想象两大类；根据数学想象的意图可以把数学想象划分为无意想象和有意想象两大类；根据数学想象的生理性可以把数学想象划分为触觉想象、听觉想象以及视觉想象三大类。

3.数学想象的内容

根据作用对象可以把数学想象划分为图形想象与图式想象两大类。

图形想象的基础是图形形象直感，图形想象是一个对数学图形表象改造和加工的思维过程。图形想象思维活动同样包含构想、表达、识别和推理四个层次。图像想象思维活动主要是在大脑中加工数学表象构造，构建数学图像结构，图形构想存在一定的模糊性。图形表达指的是通过空间图形或平面图形的形式表现空间图形构想，图形表达应遵循统一标准。图形识别指的是识别数学图形以及图形结构的分析。图形推理指的是对数学对象的想象、联想等思维活动，数学的图形识别是图形推理的前提，图形推理是数学想象的关键。

图式想象的基础是数学直感，图式想象是一个对数学图式表象进行改造与加工的思维过程。数学图式也叫数据结构或框架，因为数学框架结构是图式想象思维活动的原材料，这和下文提到的图像想象思维活动有很大区别。从本质上来说，数学图式想象就是对数学数据结构框架特征形象的推理。图式想象思维活动包含构想、表达、识别和推理四个层次。

4.数学想象的基本方法

数学联想和数学猜想是数学想象的基本方法，同时也是数学想象的基本环节。数学联想和数学猜想之间的差别在于想象的创造性程度。数学猜想的创造性程度比数学联想要高，数学猜想是创造，数学联想是再造。

数学猜想依据的是思维的目的性，是对数学方法、理论做出创造性想象和推测的思维过程，数学猜想不依赖已经掌握和了解的数学图表、数学表达式、数学符号与数学语言，是对新的数学形象的独立创造。这一思维过程的综合性、创新性和可研究性较高，需要运用归纳、类比、联想、比较、分析、实验、观察等各种数学方法。可以从数学方法的运用角度将数学猜想分为直观性猜想、构造性猜想、类比性猜想、归纳性猜想等。

数学联想依据的是数学图表、数学表达式、数学符号与数学语言，通过对这些元素的再加工、再改造，形成新的数学形象。这一思维过程开始于对相关数学形象、相近数学形象、相反数学形象以及相似数学形象的探析。数学联想包含对比性数学联想、相似性数学联想和相近性数学联想三种形式。数学联想是高中阶段数学学习过程中想象的主要方法。与数学猜想不依赖数学图表、数学表达式、数学符号与数学语言，独立创造新的数学形象不同的是，数学联想需要有具体的、丰富的数学表象做基础，而数学表象也正是数学联想的前提，头脑中没有相应的数学表象就无法进行数学联想，掌握鲜明、丰富的数学表象可以让数学联想更灵活。数学联想的另一个前提是对数学图表、数学图形、数学表达式、数学符号等数学语言的精准理解。

数学猜想和数学联想的差异体现在以下两个方面：①二者的思维展开基础有明显差异，数学猜想思维展开的基础是思维活动的目的，而数学联想思维展开的基础是头脑中已有的数学图表、数学图形、数学表达式、数学符号等数学语言。②二者的创造性程度有明显差异，数学猜想是独立的创造，其结果是产生独特的、新颖的数学形象，而数学联想的创造结果不会超出头脑中已有的数学表象、数学经验范围。

数学表象、数学直感和数学想象是数学形象思维的三种进步形态和重要组成元素，三者之间的关系是相互作用、相互影响、相辅相成、辩证统一的。数学表象是其他两种数学形象思维元素的基础，数学直感思维是数学表象思维的发展，数学想象思维是数学直感思维和数学表象思维的延伸。数学直感思维和数学想象思维互相渗透、互相结合，数学想象思维既以数学直感为依据，也以数学直感为结果。在处理数学问题时，大脑的思维活动过程为数学表象思维活动、数学直感思维活动、数学想象思维活动，三个过程层层递进，先是通过对数学对象特征的观察判别数学表象，进而产生数学直感，最后经由数学猜想在大脑中产生数学形象。

五、数学形象思维能力结构

有效解决问题的必备心理因素是较好的思维能力。数学能力属于一种特殊的思维能力，它符合数学活动的要求，并能确保顺利完成。

数学思维能力的核心要素包含以下四类：推理能力、抽象概括能力、探索能力以及判断选择能力。数学技能与知识是数学思维能力的基本要素，个体的学习习惯、态度、意志力、性格等因素相互作用决定了数学思维能力。

数学是一种思维过程，这一观点出自普通高中数学课程标准，主要指人们在学习、生活以及运用数学解决问题时，都会经过直觉、观察、发现、归类、想象、概括、符号、运算、反思、重建等阶段。数学思维能力主要体现在这些阶段，能够帮助学生学习使用数学思维对现实生活中存在的数学模式进行思考、判断。

目前，国内外的研究者们对数学形象思维能力结构的探索未达成统一标准，他们尝试从各个角度进行研究、归纳总结数学思维特征、形式结构理论等。数学形象思维能力的构成主要有以下四个方面：

（一）数学表象思维能力

数学表象思维可以分为概括能力和表述能力，这是通过分析数学表象思维理论并依据其思维活动发生过程得出的。

数学表象的概括能力是指学生通过获得数学图形、图式，在脑海中形成图形、图式表象，从而能概括其表象为整体形象的一种能力。事物的本质和规律可以通过整体形象表现出来。数学图形、图式蕴含着复杂的数学关系和数学本质，该能力要求学生抓住图形的结构与特征。数学表象的表述能力是借助几何图形、草图、符号等，将头脑中形成的数学表象进行清晰表述的一种能力。如果学生能够通过图形或符号表述头脑中形成的数学表象，就表示学生已经具备这种能力了。

（二）数学直感思维能力

通过分析数学直感理论，可以将数学直觉思维分为以下四个方面：前形象识别直感能力、模式补形直感能力、形象相似直感能力与象质转换直感能力。形象识别直感能力主要指图形变位和变式情况下的再认能力；模式补形直感能力由几何补形和代数补形两种直感能力构成；形象相似直感能力分为图形相似和图式相似直感能力两种；象质转换直感能力由图形与对象性质转换、图像与对象性质转换、图式与对象性质转换的直感能力构成。

（三）数形结合能力

（1）数形结合的概念。数（式）或形结构的本身变式、变形间的迁移以及相互间的整体、局部迁移都包含在数（式）形结合中。在解决数学问题时，“数”是指给出的数量关系式，如函数、代数式、方程，“形”是指数量关系在几何形态上的表现。此外，如果直观定义数形结合的概念，是指抽象的“数”通过直观的“形”来表达模糊的“形”，通过精确的“数”来研究，即综合考虑抽象的数量关系和直观图形结构，不仅仅分析数量关系，还能探索几何关系，使数量和空间形式的形象结合在一起。这是一种解决数学问题的思路。数形结合能力是一种思维能力，一般在几何形态与数量关系式之间进行结合、迁移与转化。数形结合能力要求高中生具备以数解形和以形助数的能力。

（2）数形结合能力的结构。科学研究证明，人大脑的两个半球具有不同的功能和作用。从思维层面来看，左半球主要是逻辑思维，右半球主要是形象思维。这两个半球的作用与功能联系紧密、协同工作。在人脑的两个半球搭建联系，并实现转化的就是数形结合思想。以数解形的能力和以形助数的能力是数形结合能力的两个方面，这是通过数学问题转化方向所得出的结论。以数解形指将几何问题转化成数学问题加以解决，以形助数是指将数学问题转化成几何问题加以解决。

（四）空间想象能力

1.空间想象能力的概念界定

空间想象能力既是构成数学能力的基本要素之一，又为创造性思维提供了活力。因此，自20世纪中叶开始，国内外学者研究和关注的热点集中在对空间想象能力的研究上。

人们对客观事物进行观察、分析、归纳、思考、创新的能力就是空间想象能力。郑毓信说：“人在头脑中能将看到的客观事物形状、位置、大小以及它们之间的关系准确反映出来。”中学数学中的空间想象能力也是一种创新思维能力，即人们通过分析客观事物的空间形象与关系，从而进行创造，其中包括对客观事物的结构、形状、位置等信息的想象。

通过以上表述得知，界定空间想象能力的概念，从两个方面进行：第一，对数学对象的空间表现形式的反应能力。第二，对数学表象进行再次加工并创新的能力。通过分析得出结论：空间想象能力是一种思维能力，主要通过观察、概括大脑中形成的空间表象，并抓取其特征，再次联想、创造出新的数学形象。

2.空间想象能力的结构划分

空间想象能力由低到高，分为空间观念、建构空间几何表象的能力、空间几何表象的操作能力。

空间观念划分为三个层面：第一是空间感，建立数学几何图形的表象，在头脑中形成三维立体空间。第二是实物的几何化，通过几何图形、数学符号等形式，对具体实物进行表述。第三是空间结构关系，分析复杂的图形，用几何知识找出最基本元素与图形，熟悉结构，想象出几何图形结构之间的内在关系。

以空间观念为基础建构几何表现能力。通过语言、数字等信息提示，构想几何表象，用大脑反映出语言文字表述的几何图形的结构，就是建构空间几何表象的能力。

在已经形成的空间几何表象的基础上，对其进行深加工，并创新出新图形的能力就是空间几何表象的操作能力。

对数学形象思维与数学形象思维能力的探讨，可得知组成数学形象思维能力的四个基本要素：数学表象思维能力、数学直感思维能力、数形结合能力与空间想象能力。数学表象的概括能力与数学表象的陈述能力构成了数学表象思维能力，这是通过分析数学表象思维活动的步骤得出的。数学直感思维能力由形象识别直感能力、模式补形直感能力、形象相似直感能力、象质转换直感能力构成，是通过分析数学直感思维活动的作用对象得出的。以数解形能力与以形助数能力构成数形结合能力，是依据数形结合思维活动的方向性得出的。空间观念能力、建构空间几何表象的能力与空间几何表象的操作能力构成空间想象能力，是依据空间想象思维的层次划分的。

【注释】

[1]马晴燕.高中数学教学中拓展学生思维空间的研究与实践[D].苏州：苏州大学，2013：14—21.

[2]张鑫.高中数学课堂思维能力的培养[D].哈尔滨：哈尔滨师范大学，2018：10—20.

[3]程华.数学课堂思维教学若干问题的思考[J].数学通报，2018，57（03）：26—29.