一、数学类比的概念与特征
（一）类比的概念界定
“类比”一词，源于希腊文aralogla，意思之一为“比例”。从两个或两类对象具有某些相似或相同的属性的事实出发，推出其中一个对象可能具有另一个或另一类对象已经具有的其他属性的思维过程称为类比。类比又称类比推理，有时也称为类比方法或类推方法。
如果用A、B代表两类对象，a、b、c、d代表A的属性，a´、b´、c´代表B属性的，并且a´～a，b´～b，c´～c，可以用公式表示类比法：
∵A对象具有a、b、c、d属性，B对象具有a´、b´、c´属性。
∴B对象可能有d´属性，且d´～d。
简单地说，类比推理就是考察两组事物之间的关系。类比推理时需要找出两组事物之间的相同之处或内在联系，然后就可以发现有同样联系的其他事物。
在将对象A与对象B的类比中，对象A称为“类比物”，而把对象B称为“目标物”。有时对象A又称为“基础相似物”或“模型”，对象B又称为“目标相似物”或“原型”。
类比的实质就是根据两个对象之间的相似，把信息从一个对象（类比物）转移给另一个对象（目标物）上去。因此，恰当地选择模型（类比物）是使用类比方法的关键。[2]
（二）数学类比的思维基础——相似
相似是类比的思维基础。相似的含义属于几何范围内的，同时也是属于思维学范围内的。思维学理论指出，任何事物的演变一定会产生相同以及差异，相同的特征使得事物之间产生联系，而差异的出现表明事物的演变。因此，相似指的是事物即有一致又有区别的两个相对立的性质。
客观生活中一定含有大部分一样的事物，因此在数学中也一定含有相同的模式，类比推理指的是围绕着两个事物的相同之处进行分析，在分析某个事物的过程中，得知和含义事物的性质特点存在相同的地方，同时明确这个事物存在其他特点，在此期间，能够选取这种方式来推导另一个事物同样存在与之相同的特征。
将类升华至含义的层面就被誉为类似。类比与其他方式进行对照，最大的差异体现在其目的上，具有相同之处的事物在一定程度上是和谐平衡的，将这种相关联系认定是类似的含义，相当于将外在特点相同的事物分类对照，再加上其含义得到了确定，这两种事物的联系毫无疑问就是类似。只有两种事物具有相同的特点，才能进行类比推导，其中最重要的是发掘相匹配的事物，明确两者一致的地方。类比实际上相当于两者保留各自的不同之处而发掘相同之处，因此类比过程的实施要求两者一定要具备相同的地方，相同地方的数量和这种方式的精准度呈正比例关系。
（三）数学类比的思维特点
类比不仅在数学这个科目研究上被广泛使用，在其他方面的应用也十分的广泛，这种形式的发展和逻辑思维有着相关性，无论是难度还是性质都发生了改变。
数学类比是定性类比和定量类比的结合。数学类比着眼于两个对象之间在空间形式与数量关系方面的相似。
定性类比指的是将两种及两种以上的东西进行对照，收集性质以及特色等方面的信息，并从中得知他们相同的特征，经过类比就会得知在其他特点上同样存在相同的地方。偶尔还可以叫作早期的类比推理。
定量类比指的是按照两种事物在性质方面存在的一定程度的占比或者固定不变的联系等，按照他们存在这种联系而实施推理，偶尔还可以称作关系类比。
（四）数学类比的主要思维形式
类比不仅和演绎推理有着很大的差异，而且和归纳推理也有着很大的区别。类比的形式没有发生实质性的改变，早期的学者研究指出类比推理属于思维形式类别，而现阶段研究学者指出，类比推理指的是具有一致特点的两种及两种以上的事物，能够类比出这两者在其他的特点上也是一致的，进而得出这种方式的精髓就是总结和演绎之间被忽视的部分。
仔细研究数学类比，得知其有两种不同的方式：一种是思维型的方式，也就是思维类比；另一种是感受型的方式，也就是感受类比。
思维类比指的是具备一样特点的两种及两种以上的事物，能够推导出两者在另一种特点上也是一致的。
感受型的类比属于特殊型的，如果人们仅仅观察其外在特点，无法获取两种事物之间的相同之处，这种类型的类比不受思维的影响与控制，有着大幅度的跨越。比如，将水果中的苹果类比成各种星体，或者是将计算机类比成人的头脑，这些毫无迹象的类比和思维方式没有任何关系。
感受型的类比不同于其他形式的类比，具有自己的特殊性，具体是指在两种事物的外在特点上几乎没有相同的地方，仅仅是在笼统概念上或者思想方面具有相同的地方，而且最终结果的形成带有创新思维的观点，和模仿以及复制没有任何关系。现如今大部分的研究都是以感官认知为出发点的，其次再实施检测使其更加明确，进而帮助学生们灵活应用类比形式，尤其是依靠感官认知进行第二次的创新，不仅促进了学生们的逻辑表达，而且提升了学生们的创新水平。
二、数学类比的主要功能
类比主要应用在数学领域，同时也是激发创新思想以及进行研究的方式，大概所有的数学研究都能够体现出数学类比的功能，掌握数学知识的过程必然经过类比这个环节，同时也是数学体系增设、扩展以及提高全面性的重要方式。类比能够提高记忆效率，从客观上帮助学生们降低脑力的消耗。类比的精髓是指按照两种事物的共同处，将相同特点进行类推进而能够获得目标事物。因此，这种方式能够产生学习迁移的现象。
（一）数学发现的重要工具
类比作为激发创新思想以及进行研究的方式，在我们国家的科学研究方面，通常都是以感官认知进行这种方式的。例如，牛顿定律将人体类比成王冠，将水果类比成星体等都是具有代表性的案例。
数学类比也包含其中，所有的数学研究都有它的参与，同时在一些重点研究中也会体现出其功能，被人们熟知的哥德巴赫猜想和类比有很大的相关性，而且凸多面体的创作想法也和类比具有相关性。华罗庚也是选取这种应用方式，得出选取初等方式能够类比衍化出插入法。
类比的过程没有发生实质性的变化，从某种性质的事物推导出相同性质的不同事物，没有中间作为转化的介质，也就是说省去了头脑中概括的环节，选取这种方式能够在两个具有差异化的层面中完成转化。因此，一般将这种方式称之为感性的连接。
在立体几何中存在大量的含义原理能够和平面几何所存在的含义观点进行类比推导，代数中所存在的大量规律能够和算数中所存在的规律进行类比推导，还有概率空间能够和测度空间进行类比推导等。总之，这种方式具有连接以及过渡的功能。
（二）一种基本思维方式
意义学习有两个先决条件：①学生们能够展示出根据含义而进行学习的倾向，是指学习的材料和已储存的理论经验的相关线索。②学习内容对学生具有潜在意义，即能够与学生已有的知识结构联系起来。这里要特别注意的是，这两个“联系”一定是一种非任意性的、非字面上的联系。也就是说，这种联系不能是一种牵强附会的或逐字逐句的，而是实质性的联系。
强化意义学习的程度需要考虑几个方面：①在认知体系中，和新信息产生具有一定关系的含义有没有起到相关的作用，因为这些含义具有参考价值。②这些含义和即将掌握的新信息两者的差异是否明显，是指避免新旧含义之间出现模糊不清的情况，而且新含义应该独立的存在。③在认知的体系中具有参考功能的含义有没有保持其不变的特性，这方面和参考功能的效果具有显著的相关性，而且和差异性的判断也有显著的相关性。
在掌握和数学相关的笼统性含义时，这个含义或者是和其相联系的事物被大脑的认知系统觉察时，会激发大脑皮层的深度记忆，并使其记忆中的相关信息被提取出来。根据心理学分析，受到冲击的信息相当于经常提到的含义中的心理对应物，而现阶段从心理学的角度进行分析，数学含义中所出现的心理对应物指的不是早期所提到的相匹配的意思，实际上指的是不同成分构成的混合物。根据以上的观点，结合了含义以及心理表征之间的差异性质，心理意象指的是和含义具有相关性的并且能够体现出综合性的认知体系，具体指的是心理图像以及和其特点有一定联系的记忆等。通常情况下人们将图像以及记忆等都称之为心理表征。
通过分析建构理论可以得知，学习这个环节也就是在大脑中形成心理意象的程序，学习具有可逆性的特点，通过两种情况进行表述：一种情况指的是主体在掌握新知识的过程中，通过提取原储存的信息，凌驾在新知识之上进行；另一种情况指的是新知识融入储存的理论体系中，促进了理论体系发生改变，造成理论体系重新加工以及完善，早已存在的知识体系起到至关重要的作用。
因为笼统的数学含义只是表达出公式等信息，无法将表层的信息展示出来。因此，在感知数学知识的时候实际上就是全方面组织的程序，学生们无法在头脑中去创造一个客观的事物，也就是指将事物的外显特征内化成心理表征，在认知的层面上依然无法掌握数学知识。
由此我们能够得知：一方面，因为学生们头脑中储存的理论经验在遇到新事物的时候产生了不可或缺的功能，因此在教学的过程中，将指导学生们有意识地积累经验以及储存理论等作为重点；另一方面，在教学的过程中，要引导学生们顺利完成从笼统到详细的发展，也就是指导学生们将一些笼统的信息和大脑中储存的理论体系进行连接，形成相一致的心理意象，这个环节是教学过程不可或缺的。如果缺少这个环节，那么学生们在遇到和掌握新信息的同时就不可能调动、提取已存在的理论体系及经验之中的相关点，也就不可能对新信息实施顺应以及同化等步骤，进而无法掌握新信息。例如，要掌握高维空间这个含义，应该把它和其他三个维度的空间含义对照，否则学生们无法掌握n维空间的含义，同时其相关的方向和数积等等更加难以掌握。
在掌握代数式的信息时，一般情况下都是把代数式的计算原理和数的计算原理分类对照，缺乏这个环节就会造成学生们难以掌握相关信息以及对其灵活应用。(www.xing528.com)
在增加指数含义的过程中，需要把经过加工的情况和没有经过加工的情况进行对照，只有这样学生们才能掌握经过加工的指数含义，然而依旧无法深刻地理解计算特点。
在掌握新理论的过程中，头脑中已经存储的理论体系以及经验起到了铺垫的功能。同样，类比这种方式是把遇到的新信息和大脑中已存在的信息进行对照，进而能够全面深刻地掌握和理解新信息，在头脑中形成大体的意象，这种方式是在掌握的过程中必须经历的一个环节，同时也是数学体系的增设、扩展以及提高全面性的重要方式。
实施这种方式不仅要具备专业的数学理论，还要掌握其他方面的理论，因此在进行类比推理的进程中不会出现缺乏素材的情况，提高创造出更多数学理论的概率。视野狭窄以及理论积累不足的人们根本无法实现和创造新理论，实际上，应用这种方式来实现新信息相当于联想以及预见这两个环节的结合。
（三）一种有效的记忆方法
在教学的过程中增强记忆能力可以丰富学生们大脑中的理论储备，并促进学生们智商的提高，无论是理解能力还是处理事件的能力都能得到增强。因此，记忆能力的增强对于知识的掌握起到关键的作用。
从心理学的角度进行分析，记忆包括认知、储存和再认知以及重现等环节。认知指的是感官系统进行活动，进而产生相对稳定的联系，也就是指信息的输入；储存指的是将输入的信息进行储存，也就是指信息的加工；而再认知以及重现指的是将储存到大脑的信息再一次提取出来，也就是指信息的再现。因此，增强记忆的能力，应该特别重视认知以及储存这两个环节，强化认知的程度以及增加储存的时间。
联想类比这种方式能够增强记忆能力和速度，进而学生们在学习的过程中降低了脑力消耗，这种方式根据外在特点一致的事件进行类比，还可以根据其相对立的事件进行类比，总之能够加强记忆能力。
专注于数学领域的学者们在处理特殊事件的时候，一种情况是将深处记忆中的相关数据无固定条件限制地进行获取，在处理事件之前需要做好准备工作。另一种情况是结合大脑之外的具有创新性的相关数据，进而改善之前所存在的弊端。这些研究者们在处理事件的过程中需要提取相关信息，如果缺少记忆这个环节，一切事件的处理进程都将停滞不前。
结合类比联想这种方式来回忆，能够发掘以及确立理论之间的相关性，促进学生们全面地进行掌握，而且大脑中的理论模式相对完整稳固，将具备相同属性以及特点的事物实施对照环节，设置两者之间具有稳固性的相关关系，最大的优势就是提高记忆能力以及增加记忆的长度。
（四）形成和促进学习迁移
学习迁移的含义是早期掌握的知识干扰了将要学习的知识与经验，也可以认为是两个将要掌握的新知识之间的干扰。从认知心理学的角度进行分析，指的是原有的认知体系对新事物和新信息产生的干扰作用。
习得这个过程在其度的方面是有很大区别的，通常都是从简单发展至烦琐，无论掌握什么方面的理论以及能力，其前提一般是已存在的理论技能等，人们心里的成长不仅仅包含成长本身，还包括综合素养以及全面能力的培养与累积。累积系统还可以叫作层次体系，主要包括几个方面：激发与反馈、言语相关性、区分式的学习、行为反应、理解含义学习、计划学习、以处理问题为导向的学习等等，而义务教育重视后四种方式。
迁移包括水平方向的迁移和垂直方向的迁移，垂直方向的迁移指的是不同概括能力经验之间的相互作用，也就是说较高水平的经验影响着较低水平的经验，或者是较低水平的经验影响着较高水平的经验。根据以上观点能够得知，要想获得高深烦琐的技能，最关键的是依靠已经习得的技能，各种技能运用得越灵活，使用时就能越快速地提取，并且在此期间能够将已获得的技能迁移至烦琐高难度技能的概率越大。水平方向的迁移指的是处于相同层次的经验之间的相互作用，因此指导学生们在层次相同但情境不同中发挥技能，能够帮助学生们获得水平方向迁移的技能，并且能够促进垂直方向迁移能力的提高。
类比的本质是按照两种事物的共同特点，根据其中一种事物的特点推导出另一种事物也具有此种特点。类比和迁移的性质是具有差异的，类比能够产生以及强化迁移，实质类比和迁移具有正相关关系，刻板类比和迁移具有负相关关系。
用头脑中已经储存的经验来解决新事件是非常实用的方式，此种方式被人们誉为类比迁移。当遇到新事件的时候首先选取这种方式，在选取这种方式处理事件的过程中，主体应该把早期的事件和现在的事件进行对照，将处理办法作为出发点，并将早期处理过的事件和现阶段即将处理的事件相同的特点提取出来，再结合这些相同的特点类比推导。因此，类比迁移的实质是将早期的处理事件的经验应用到现在的事件上。
根据不同的层面进行类比迁移的分析，倾向于将每一种信息的功能体现出来，一部分人倾向于深层组织框架所体现出来的功能，还有一部分人同等地看待深层组织以及外在特征。遇到新事件的时候，需要处理的事件其外在特点和框架如果与已经处理过的事件具有相同之处，那么相同的信息就能够被提取出来，并且与之相联系的信息就可以发挥作用。然而，大部分学者所赞同的想法是在处理事件的过程中所获得的经验以及信息，是导致迁移出现的重要条件，将两种事物进行类比主要就是根据其结构以及特点等信息，两种事物的特点以及结构等相同程度越高，就表明其中一个事物的各种信息值得人们深入的研究，此观点无形之中和学者仅仅能够处理自己专业的事件这个观点相一致。在特定的领域中，处理事件过程中所总结的知识技能以及积累的经验越多，越能够激发与之相联系的事件。因此，新遇到的事件就能够快速地得到处理。
（五）推广数学命题的有效方法
通常情况下，所有的类比方式最终的意图都是增加原有形成的理论体系，从这个层面进行分析，类比这种方式相当于同向思维，也就是说在方向一致性的情况下思维的发展，其中含有处于相同高度的水平类比。例如，三角形和平行四边形之间的类比等。同时还含有由下自上而形成的垂直方向的类比。例如，数值和公式之间的推导等，方向一致的思维发展还可以通过类比联想体现出来。
数学分析所针对的内容是笼统的素材，表明了掌握数学知识应该具备归纳总结能力，并且这项能力也是考核掌握知识水平的程度与标准。数学知识能够快速被掌握的原因是，学生们的归纳总结能力相对较强，在掌握数学知识的过程中，大部分都会选取类比的总结方式，也就是指实现两个不同专业的类比跨度，使领域得到扩展。将类比总结方式应用到已经储存的知识体系中，能够提高理解与掌握的水平，进而深刻认知事物的性质。
三、数学类比的类型划分
类比是按照具有相同特点和性质的两种事物来推导这两者是否还存在其他一致的特点等，能够将平面和空间这两者所包含的成分进行推导，主要是根据他们在空间特点以及数值大小比较这两点上具有相同之处，人们将这种形式称之为数学类比。
从这种形式的思维角度进行分析，数学类比不仅仅有性质方面的研究，而且还有量度方面的分析以及关系的推导等，其准确性和真实度相对较高，而根据两种事物相同之处进行观察能够得知，数学类比可以进行分类，包含形式类比、实质类比、横向类比、纵向类比、精确类比、可能类比等。
（一）形式类比和实质类比
形式类比指的是按照具有相同特点以及相同框架的两种事物而形成的类比，这种类比方式倾向于外在结构以及特点的一致性，属于能够直接观察到的类比程序。而实质性的类比属于间接的高度联系的类比程序。
实质类比是两个进行对照的事物具有相同的特征并且还存在其他联系的两者间进行的类比程序。实质类比属于垂直方向的，且一般是在作用以及体系等方面的推导。例如，数学和其所包含的某个章节之间进行的推导，通常是选取空间以及平面之间的推导来进行展示，也可以称之为降维类比。如果是复杂的事件和简单的事件之间的推导，那么可以称之为降次类比。实质性类比倾向于两种事物根据在功能以及体系方面的相同之处，进而推导出这两种事物在特点等层面的相同之处。
（二）横向类比和纵向类比
横向类比也可以称之为水平方向的类比，是指具有区别的两种事物之间的类比，类比的推导过程和模仿以及复制没有任何关系，两种事物的推导过程不会直接体现在其表面上，实际上具有本质的联系。中学课本上的数形内容就是非常具有代表性的水平方向的类比，这种方向的类比不仅包括不同领域之间的推导，而且还包括在相同领域中形成的类比推导。例如，三角图形和平行四边形之间的类比推导，还有不同性质的数列之间的类比等。
和水平方向的类比呈现对立关系的是垂直方向的类比，垂直方向的类比指将两个具有所属关系的事物进行对照，将事物指引到一个全新的世界当中，通常情况下会出现意想不到的现象。偶尔也可以从普通的命题中推导出卓越以及有意义的命题，从垂直方向的类比将事物转化为普通，实际上是推广传播；从垂直方向的类比将事物转化为特殊，实际上是限定。通常情况下，此类方式能够促进对事物更透彻地理解。根据平面与图形之间的所属关系能够推导平面和空间。同样，根据空间与图形之间的所属关系也能够推导平面和空间，这两者是一致的，没有任何冲突。因为平面和空间属于包含关系，所以这两者能够实施类比这个程序，垂直方向的类比还包括数列以及公式之间的推导、详细以及笼统之间的推导等等。
（三）精确类比和可能类比
精确类比指的是一样的结构以及一样的形态之间的类比，其真实性比较强。
在数学领域中，存在两个体系S与S´，而且他们具有稳定的联系，无论是S体系内的不同内容还是S´体系内的不同内容都受到相同规定与原则的制约，则这两个体系内的内容可以进行推导，两者之间产生的类比形式分为两种：
（1）在这两个体系内的不同内容始终具有一对一的联系，从另一种角度进行分析，在一个体系内的不同内容具有稳定的联系，则在另一个体系内的不同内容同样具有相同的联系，这两个体系内所存在的联系实际上相当于可靠性强的推导过程，被人们誉为同构。而同构类比属于两极分化的形式，在数学领域中经常看到的这种形式实际上是函数和图形、数值与图形等等，还有两个实数的组成与平面内的点同样属于同构类比，进而能够选取代数进行几何的分析与讨论，或者是选取几何进行代数的分析与讨论等等。
（2）在这两个体系内的不同内容始终具有一对多的联系，这种联系不管是在专业的数学领域中还是在有限群理论中都起到了不可或缺的作用，被人们誉为欠缺的同构，而这种欠缺的同构类比同样是真实可靠的。
（四）其他类比方法
（1）简单和复杂的类比。人们认识世界的过程是一个不断由简单到复杂的过程，同样在数学学习中也应及时地将复杂与简单进行类比，以期通过分析简单问题的解决手段而获得解决复杂问题的方法。
（2）特殊与一般的类比。一般化是从考虑一个对象过渡到包含该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合到考虑一个包含该较小集合的更大集合的思维方法。特殊化是从对象的一个给定的集合，转而考虑包含于这个集合内的较小的集合的思维方法。一般化是一种外推方法，特殊化是一种内推的“退”的方法。由特殊到一般是一个抽象、概括的过程，是一种类比、推广的过程，是一种发散的思维过程，如何“发散”需要“类比”指引方向。由一般到特殊是一种类比、限定的过程，是为了发现一般性问题的解法，从何处特殊及特殊化后的问题对一般情形是否有所启迪也需要进行“类比判断”。因此，无论是一般化还是特殊化，都需要进行类比推理。
（3）抽象与具体的类比。如果从“具体”与“抽象”所具有相对意义的角度去理解，则又可以将“具体”与“抽象”进行类比，也即通过与较为具体的对象的比较来从事更为抽象的数学对象的研究。例如，现代数学中关于有限群的研究，在一定意义上即为建立在与数论的类比之上。具体地说，每一个正整数都具有唯一的质因数分解式。对有限群也可进行如下的“分解”：它们可以表示为一个“正规子群”与一个“商群”的“积”，任何一个有限群又都可以由“单群”得到建立，而后者显然就可看成质数的类比物。从而单群的研究在有限群理论中也就如同质数的研究在数论中同样重要。特别是如何给出关于所有单群的一个完整的分类就构成了有限群理论的一个主要内容。
（4）低维与高维的类比。低维与高维的类比是一种纵向类比。常应用于数学的同一分支内。主要有空间问题与平面问题的类比、高次问题与低次问题的类比、多元问题与一元问题的类比等。
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