数学归纳推理思维策略：提升解题能力研究

一、数学归纳推理思维的概念界定

要准确地理解“数学归纳推理能力”，把握好“归纳推理”这个概念是十分必要的。很多专家和学者都对归纳推理做过概念界定：①从经验和概念出发，按照某些法则所进行的、前提与结论之间有或然联系的推理。②由个别的事物或现象推出该类事物或现象的普遍性规律的推理。③归纳推理是通过观察、实验、比较、分析、抽象与概括等方法，对一些个别事物进行探讨，从中获得一般结论的推理。④归纳推理就是从诸多丰富生动的个性中，发现带有普遍意义的共性的过程，它的哲学基点就是将共性寓于个性之中。

数学归纳推理能力是数学推理能力的一种，基于对数学能力、数学推理能力以及归纳推理的理解，本书认为数学归纳推理能力就是在数学活动中，通过观察、实验、比较、分析、抽象与概括等方法，对一些个别的知识或问题进行探讨，并从中获得一般结论的推理能力。

二、数学归纳推理思维的理论基础

（一）教育学理论

随着人类社会不断进步，教育的重要性越来越突显。其主要目的是教化人、培养人，推动人类社会发展和进步。而我国教育的主要目的是培养全面发展的人，培养具备独立思考和一定实践能力，具有创新思维的社会主义建设人才。在素质教育中，智育是一个非常重要的组成部分，它指的是开发学生智力的教育，给予学生科学文化知识的传授和提高实践能力的培训，让学生掌握足够的知识和一定的实践技能，培养学生的学习兴趣，养成良好习惯，学会独立自主学习，从而逐步提高学生的思维想象和创新创造能力，在思想上、精神上满足学生的求知欲望。

学生智力能够严重影响教育教学的质量和成效，学生智力发展的水平高，更容易取得良好的教学效果。因此，教育教学的最核心的环节应为注重学生智力的培养。注重学生智力的发展也就是注重其抽象思维能力的发展。抽象思维能力是人类认识、理解和判断客观事物以及现实世界的重要工具，对人的智力发展有着深远影响。因此，可以说智力在人类认识世界和改造世界的过程中扮演着决定性的角色。

培养学生的创造才能有助于实现教育目的，促进人的全面发展。学生的创造才能表现为他们运用智慧的头脑对所学知识进行自我解读和架构、充满自信和坚定意志、对知识充满渴望、在不断自主探索和发现中锻炼自我以及培养创新性思维。尽管这种创新能力并不能直接为社会或科学的发展做出巨大贡献，但是这种能力的培养有助于学生形成系统的知识体系，具备坚强的意志，培养其独立思考和创新思维的能力，进而满足他们对于真理的渴求和实现目标的期望。

教学是指教育过程中具体的操作方法，其不仅影响传统文化的继承，也对促进人的全面发展有着决定性作用。教学方法作为教学环节中的核心要素，足以决定教学任务的完成情况以及教学效果和质量的满意程度。其中，研究法成效显著，教学以学生为中心，教师只是课堂的引导者和指引者，只负责设置问题情境，找寻学习素材，发挥学生的积极能动性，让他们自主探索，从中发现问题，敢于提出假设，进行大胆创新，在实验和实践中检验结论的正确性。这种教学方法的课堂氛围活泼有趣，师生互动良好，学生在获取知识的同时，其能力也得到了发展，意志得到了锻炼。

教材是决定教育教学能否成功的关键因素。学生对于教材的理解存在一定难度，教师要发挥引导作用，教导学生对其理解要达到理性认识的高度，从而很好地掌握教材，这也是教学的重点所在。在指导学生理解教材时，教师要鼓励他们多用科学的理论方法进行归纳推理，注重培养他们的逻辑和创新思维能力。

教育教学的目标之一就是要培养学生的逻辑推理能力，达到认识的新高度。培养学生的归纳推理能力，首先可以从简单问题开始，给出分析案例，指引学生对其进行简单的归纳总结，得出简单的概念、原理或公式，这就是归纳推理的具体表现，从个别到一般。这样，学生的认识就能实现质的飞跃，具有了抽象概念和理性意义。而演绎推理不同于归纳推理，其表现形式是从一般到个别，其要求在教师的指导下，学生能结合所学概念或原理，推理出相对应的东西，但其具有特殊性质，不同于所学的一般概念或原理。最佳的教学方法是把二者有机结合起来，因为任何事物都是作为一个矛盾体而存在的，既有其自身的特殊性也有同类事物的共性。因此，为了赋予所学概念、原理或公式鲜活的生命力，提高学生的认识力，归纳推理和演绎推理二者缺一不可。

（二）教育心理学理论

从心理学角度看，遗传基因、社会环境、个人所受教育以及自身的努力程度和实践经验在个体能力的发展中扮演着重要角色。

从认知心理学角度而言，在教育过程中，最重要的是培养学生整体的认知结构，夯实基础，逐步提高学生的认知能力。因为只有具备一定的认知水平，学生才能对所学知识有一个清晰的认识，才能形成一个系统的知识体系，将各科知识串联起来，从中总结规律，掌握系统的学习方法，才能将所学知识真正内化于心，做到理论与实践的有机结合。简言之，只有培养学生整体的认知结构，才能真正实现学习迁移。因此，老师在教育教学的过程中，不能只强调对知识的死记硬背和单纯模仿，要引导学生学会学习，掌握对知识的总结和概括能力，培养逻辑理性思维。只有这样，才能提高学生的整体认知能力，从而实现高效率的学习。发现学习理论倡导发现法，其本质是引导学生独立思考，自行搜集学习素材，积极主动发现知识，总结要点和规律，掌握系统知识。其主要作用如下：激发学生的智慧潜力、转移学习干扰、明确学习动机、在尝试中发现学习形成对知识的长期记忆。学生处于一定的学习氛围之中，学习的热情和主动性会更加明显，这是学习过程中最具价值的东西。因此，发现学习法要求教师运用各种方法以及创造生动有趣的学习氛围来努力调动学生学习的积极性，让学生进行自我发现和自我探究式的学习，让学生掌握学习的主动权，在不断探索发现中掌握所学知识。中学时期，学生思维逐渐成熟，由最初的形象思维不断向抽象思维发展，开始乐于表现自我，充满丰富的想象力和无限的好奇心，渴求知识的灌溉，对事物有了自己的想法和见解，看待问题角度更新颖。因此，注重培养中学生的数学归纳和推理能力十分必要，推动学生思维逐渐摆脱对经验的依赖，学会运用理论独立思考。

（三）数学教育学理论

1.“再创造”理论

弗莱登塔尔对数学教学方法颇有研究，认为过去的数学教学一直扰乱了人的思维理性。首先，数学家们的科学研究一直按照先“因为”，再“所以”的逻辑标准进行，但是实际操作他们却并不遵守，在科研发现的过程中，他们需要提出大胆的猜想和假设，然后再进行论证和检验，这样的思维活动真正体现了极强的创造性。然而，数学家在描述自己的科研成果时，并不具体描述这些思维活动，只是重点总结出最后结论。其次，数学教材中的内容是经过综合整理之后整体呈现出来的，然而每一具体内容都是通过分析得出的，学生在获取书中知识时无法获取到其生成过程中包含的一系列具有创造性的思维活动，包括猜想假设、论证、否定、再次假设等。因此，学生自主探索和发现的能力也就得不到锻炼和提高。基于上述原因，弗莱登塔尔提出数学教学应注重“再创造”。教师只负责设置问题情境和提供学习素材，他只是学生学习的引导者。在教师的指引下，学生进行积极的自主探索发现，总结规律，掌握科学的学习方法，做到知识的融会贯通。他还提出数学教学只关注结果是不合理的，这种教学方法传授的只是固有的结论，学生只能进行单纯模仿和机械记忆，无法体现创造性的数学思维活动。过去的数学教学运用的基本不是活动教学方法，其相关教育研究也是如此，因此导致数学活动的本质没有得到充分的展现。数学教学应彻底改变这一现状，以学生的学习活动为中心，使学生发挥主观能动性，展现其逻辑严密的数学思维和创造性能力。

数学活动的关键环节在于让学生掌握数学知识，这就需要随机应变，灵活处理，让学生在积极有趣的氛围中学习数学知识。因为这样，学生会主动去掌握其学到的知识，学习效果比被动接受要好。经过自己主动的“再创造”，学生对知识理解得更加透彻，记忆也更加深刻，能够长久留存于大脑之中。

2.波利亚数学教育理论

波利亚作为一名杰出的数学家和数学教育学家，他提出数学这门科学既是通过系统演绎得出的，也是经过实验归纳总结得出的。数学活动应同时体现归纳与演绎，二者缺一不可。然而，实际的教学活动只注重数学结论和结果，对其进行反复验证，却忽视了结论的形成过程——先归纳后猜想。鉴于此，波利亚提出数学教学活动要体现归纳、猜想这一环节，要注重培养学生的创造思维，为其以后的科学发现或发明创造奠定一定的基础。在数学和教育研究中，最为重要的环节是提出问题和解决问题，二者的实现能有效推动数学教学和研究的发展。基于这两个层面，波利亚进一步深入分析了数学思维的形成过程，认为数学问题的解决过程是持续尝试新的思路，获得启迪的过程。因此，高中数学活动要十分重视解题教学这一环节，要持续用新的问题启发学生，让学生不断地在问题情境中进行自主探索发现、大胆假设和归纳演绎以及验证论证，培养他们的数学归纳演绎能力和创造性思维。

高中时期的学生，其思维发展进入迅速成长的不稳定时期，难以抵抗外界的影响。因此，中学教学应根据学生的身心发展特点，在数学教学中，着重发展学生的归纳演绎能力，培养他们对于数学的学习兴趣，从而能有效巩固其对数学知识的记忆和理解，提高他们的创造性思维能力和实践水平，使他们掌握科学的学习方法，帮助其合理思考问题和有效解决问题。

三、数学归纳推理的类别划分(www.xing528.com)

依照所归纳的事物或对象是否完全，归纳推理可分两类：一类是完全归纳推理，另一类是不完全归纳推理。

（一）完全归纳推理

完全归纳推理是指根据一类事物中的所有个体都具有的某种共同特征或属性，推理得出其也具有这种特征或属性。比如，整数和分数都属于有理数范畴，整数能进行加法交换，分数也能进行加法交换，从而推理出有理数也能进行加法交换。

完全归纳推理主要特点表现为：对一类事物中的所有个体进行研究，从而预估推理其自身的特征属性。

使用完全归纳推理应具备的两个条件：①研究分析的事物只包含有限的个体，从而保证其具备理论可考性。②该类事物包含的所有个体都具有共同属性，倘若其中任何一个个体不具有这种属性，则完全归纳推理法不能成立。

要保证完全归纳推理结论的正确性，还得具备以下两个条件：①研究分析的对象应包含某一类事物下属的所有个体，遗漏任何一个，推理得出的结论都不准确；②归纳推理之前要保证这类事物下属的所有个体的真实性和可靠性，否则推理得出的结论不具备参考价值。

完全归纳推理依据于某个事物具备的个别规律，得出适用于所有个体的普遍结论。因此，其作用主要是深化人们的认识水平，实现认识从个别到一般或从特殊到一般的飞跃。

（二）不完全归纳推理

不完全归纳推理是指根据一类事物中的部分个体所具有或没有的某种特征或属性，推理得出这类事物下属的所有个体也具有或没有这一特征或属性的方法。

不完全归纳推理的主要特点有：它的推理建立在前提不具备的基础上，以致其推理结论具有很大的不确定性，缺乏可靠性和真实性。由于存在干扰其结论的不确定因素，人们对其研究更加深入透彻，对于运用该方法的知识也有更多的理论分析，知识得到了进一步地拓展，有助于探索发现新的知识。

不完全归纳推理包括以下几种推理：

1.简单枚举归纳推理

简单枚举归纳推理是指在找不到与其相反的例证时，就根据一类事物下属的部分个体是否具有某种特征属性来判定这类事物是否也具有某种特征属性。

简单枚举归纳推理的主要特点表现为：①依据部分来预估整体，具有很大的不确定性，缺乏可靠性，其在解决实际问题的过程中容易出现错误。因此，它的推理结果只能作为一种推测依据，还要运用演绎推理来验证结果的准确性。②推理是先分析部分个体，没有排斥整体属性，然后直接推理得出结论，推理结论缺乏可靠性。

简单枚举归纳推理的使用注意事项：①尽可能多地寻找研究对象，不超出个人能力范围即可。因为研究对象越多、越丰富，推理结论的正确性和可靠性就越高。②尽可能找出其中的悖论或谬误。因为这种推理方法建立在不存在相反情况的基础上，根据部分个体具有或没有某种特征属性推理得出的结论。尽量多寻找与此相反的一些情况，论证结论的正确性。此外，简单枚举归纳推理法无法对所有个体进行验证，导致其结论验证这一环节不具有可靠性，结论的正确性也就难以保证。

2.统计归纳推理

统计归纳推理是指根据整体中的部分个体，一般个体数量较为精确，所具有或者没有的某种属性，推理得出整体中的另一部分个体也具有或没有某种属性。

统计归纳推理的主要特点有：①要对整体中所有的个体属性有所了解，但是实际操作中，由于整体中的个体数目过大，很难全部了解。因此，需要运用统计归纳推理法，选择整体中的部分个体，对其进行研究分析，根据他们的特征属性来推理预估整体的特征属性。尽管这种方法存在一定的局限性，但是随机选择整体中的一些个体作为整体属性的评判依据，一定程度上还是能够体现整体的特征属性的。②由于研究是分阶段进行的，因此统计结果会出现些许误差，进而导致推理结论存在过于片面的情况。

统计归纳推理在使用时需注意：研究的对象越丰富多样，研究频率越多，推理结论的可靠和准确性就越高。此外，研究过程中要根据现实情况灵活操作，要用发展变化的眼光看待事物，与时俱进，抛弃旧有的不合时宜的研究方法。

完全归纳推理方法多用于高中数学的教学之中，主要目的是让学生分析讨论解决问题。这种教学方法符合学生现阶段的学习特点，在内容较少的情况下，能取得良好的教学效果。然而，如果实际教学中需要解决的问题过多，就不能再运用这种方法。对比之下，尽管不完全归纳推理法的结果具有很大的不确定性，却十分适用于探索发现新的结论。因此，这种教学方法也应该出现在高中数学教学中。两种归纳推理方法的有机结合才能使学生更好地掌握数学归纳推理方法。