数学思维概述，解题思维能力研究

一、数学思维的概念界定

数学思维是在思维能力的基础上逐步形成的，它在形成的过程中，伴随着很多干扰性的因素。因此，为了帮助学生形成数学思维，老师最重要的职责是提高他们的思维能力，并为他们清除干扰性因素或者降低这些因素对他们的影响。由于数学思维需要思维能力作为基础，因此透过数学思维可以发现思维能力的踪迹，二者虽然有关联，但数学思维仍然保持着较高的独立性，体现着数学知识的特点，思维能力对它的影响有限。

二、数学思维的三种基本成分

数学思维包括三种基本成分：一是形象思维；二是抽象逻辑思维；三是直觉思维。^[3]下面具体分析这三种成分。

数学形象思维把客观形象当作研究的对象，借助人的联想能力，最终实现建立“物化形象”的目的。形象思维具有三个属性：一是形象性；二是概括性；三是想象性。形象思维形成的应用过程指的是以数学知识为基础，运用一定的数学逻辑以及思维能力，重新分析数学表象，从而产生新的“意象”，为解决数学问题提供新的方法。它的主要功能体现在以下四个方面：一是生动具体地展现数学问题的全貌；二是为学生带来一定的启发性；三是有效填补了抽象思维的空白；四是为数学创造力提供了源动力。

数学抽象逻辑思维是在对客观事物分析的基础上，以逻辑法则为工具，通过推理，形成新概念，进而产生定理或者原理，它在数学领域具有重要的作用，为深入理解数学概念、验证数学结论、搭建数学理论体系提供有力工具，同时也能够为其他领域的理论体系的建立提供有力支撑。逻辑思维具体又可分为两种：一是形象逻辑思维，二是辩证逻辑思维。抽象思维具体是指以形式逻辑为基础，反映数学对象及其之间的关系为手段，实现认识数学对象本质及规律的目的。抽象思维的高级阶段就是辩证逻辑思维，它通过对概念发展规律的认识，深层次地探究概念的本质。

数学直觉思维指的是当人们靠数学形象以及结构时，大脑对其进行快速识别，对其表面特征进行理解，从而产生综合的判断。这种思维方式具有其独特的属性，它的产生是不定期的，具有一定的突发性，由于直觉的作用，使其具有一定的跳跃性，对数学问题的整体识别，决定了这种思维方式具有一定的整体性。直觉思维展现方式具体包括判断、想象以及启发。

在应用数学思维发现问题和解决问题的过程中，上述三种思维相互交替、互相转化，从而衍生出了更多的思维模式。比如，归纳、联想等。

三、数学思维的结构研究

对数学思维结构的深入研究，有助于将其理论应用于数学教学实践，对于教师而言，可以改进他们的授课方法；对于学生而言，有利于提升他们的思维能力。从心理学领域对数学思维结构进行分析，可以将其分为以下几种形式：一是数学思维内容；二是数学思维的基本形式；三是数学思维的方法；四是数学思维的品质。

从数学学习的领域来看，数学思维结构是人们在数学思维活动过程中反映出来的总体特征。具体是指人们在进行数学学习时，将数学本身的结构作为基础，再根据自己对数学对象的理解，在头脑中形成新的思维结构。数学结构思维在客观和主观方面的表现具有一定的差异。客观而言，数学思维结构包括思维对象、物质技术手段、物质工具三个方面的内容，在这三者之中，思维对象起着举足轻重的作用，它是指客观世界中事物之间的数量关系以及空间形式，在数学领域表现为由一系列数学概念、问题以及方法等建立的知识结构。从主观的角度而言，数学思维结构是指思维主体的认知能力，包括思维主体的语言、情感以及思维传统等。此外，数学思维结构还包括相应的方法、形式以及思维程序等。

（一）数学思维的分类

为了方便数学思维的研究，根据不同的属性特征，将数学思维划分为不同的类别。尽管如此，不同类别之间也是相互联系的，并不会彼此独立。接下来介绍几种常见的分类方式。

（1）根据思维指向的不同，可将数学思维分为两类：一是发散思维，二是收敛思维。发散思维的指向是多方向发散的，因此它也被称为求异思维，它以某个事实为出发点，通过多角度的思考，形成不同的答案。收敛思维则正好与之相反，思考方向最终汇聚到一点，因此它也被称为集中思维，它通过将诸多事实汇聚起来，沿着相同的方向思考，找到问题的答案。任何数学答案的探究，都离不开这两种思维，在解决数学问题时，需要将二者有机结合，才能探求更好的解决办法。因此，在数学学习的过程中，应注重二者的共同发展。

（2）根据数学思维方向的不同，数学思维又可以被划分为两种：正向思维和逆向思维。正向思维指的是，在解决数学问题的过程中，朝着通常思维方向努力，逆向思维则正好朝着相反的方向研究。在学习的过程中，两种思维模式的重要性相同，但对于大多数人而言，人们习惯用正向思维思考问题，常常忽略了逆向思维，因此需要特别注重逆向思维的培养。

（3）在分析、解决数学问题的过程中，根据每一个步骤都以充分的理论或数据作为支撑，数学思维细分为两类：一是直觉思维；二是逻辑思维。在直觉思维中，想象力占据主导地位，将直觉判断作为思维基础，推理过程只要合情合理即可。而逻辑思维以理解力为引领，将概念视作判断的基础，推理过程中采用严格的逻辑推理。直觉思维以及逻辑思维之间是相互联系的，前者为后者指明方向，后者为前者做出检验。同时，从思维的发展运动规律来看，二者相互补充，同时通过中介思维，二者可以相互转化，彼此深化。

（4）从纵向推理的领域来看，数学思维包括两类：一是归纳思维；二是演绎思维。前者指的是通过对个别事物的观察总结形成一般原理的过程，它一般包括收集事物的相关资料、观察比较这些资料、总结其中的规律，最后将诸多琐碎的细节整合成能够体现一定规律的整体。演绎思维则与之相反，指的是通过一般原理推断出个别结论的过程。简而言之，归纳思维是从特殊到一般的过程，演绎思维指的是从一般到特殊的过程，二者是推理的两个方向，只有将二者结合，才能充分发挥作用。

（5）从横向扩展的方式来看，数学思维包括联想思维以及类比思维。前者指的是根据某种概念而想到其他与之相关的概念，具体又可分为三种：一是接近性联想；二是相似性联想；三是对比性联想。类比思维则指的是通过两个事物的相似特征，推断其他特征相似的过程。

（6）根据结构是否具有创新性，数学思维被划分为两类：一是再现性思维；二是创造性思维。前者利用现有知识经验，遵循既定的程序解决问题的思维过程。后者指的是根据现有知识或者经验，对问题进行探索，挖掘新答案、找出新关系或者缔造新方法的思维过程。创造性思维与其他多种思维方式紧密相关，比如发散思维以及直觉思维等。同时，它也能与逻辑思维结合。(www.xing528.com)

上述六种分类方式，是数学思维中常见的分类方式。这些相对独立又彼此联系的思维方式，是数学科学的重要组成部分，共同推动了数学科学的发展，实现了数学的崇高价值。^[4]

（二）数学思维的不同方法

首先是所有思维活动都会用到的基本方法：

（1）分析与综合。分析指的是将未知转变为已知，即通过看到的事物或过程，探究其产生的原因；综合指的是把已知的知识或经验应用到未知的领域，即通过事物产生的原因，推断、论证事物发展的结果。二者相互作用，交替运动，共同促进数学思维的发展。

（2）抽象与概括。前者是指在复杂的事物中，提取某种属性进行深入分析的方法；后者指的是把个别特征、规律推广到一般事物的方法。数学领域的相关理论、方法、公式等，都是以经验概括为开端，以理论概括为终点，概括是抽象的最终目的，抽象是概括的基础。

其次，作为理论科学的方法：

（1）演绎证明。具体又分为两种：一是演绎推理，二是数学证明。演绎推理是指从一般规律推及至特殊规律的过程；数学证明可以看成是前者的定向运动，能够确定猜想的正确与否。在数学思维中，演绎发挥着主导作用，决定着数学思维是否严谨，是否具有逻辑性。

（2）系统化。系统化指的是重新组合研究材料，然后依据某种次序将其放入某种体系中。在数学理论领域，这种系统化指的是公理化方法，通过从具体到抽象再到具体的一系列过程，使思维得到发展。

除此之外，还有作为经验科学的思维方法：

（1）观察和实验。该方法主要用于提供相关的证明材料。

（2）归纳。由特殊推断出一般的方法，通过整理观察相关材料，提出并论证猜想的过程，在概括事物本质方面具有重要作用。

（3）类比。这种方法普遍运用在发现问题、提出假设以及构建模拟，关键在于找到合适的模型。

（4）联想与猜想。

四、数学思维的基本规律

在数学思维领域，同一律是它的基本规律，也是其必须要遵循的一般规律。同一律指的是思维的认识结果必须要同客观事物同一，也就是人们的理性分析结果要与客观世界同一，即反映的是主体与客体的同一关系，也就是在差异的基础上，保持同一。因此，从这个角度讲，运用数学思维得出的结论，应该能够反映客观世界中的数量规律，这一点也能从已有的数学结论中体现出来，比如划归思想、三角恒等变换、数形中的等价变换等，这些都能够体现数学思维对同一规律的遵循。在培养和拓展数学思维的过程中，不仅要真实地反映客观世界中的事物关系，而且能够禁得起实践的推敲。此外，对于同一种事物的认识也应该保持同一性。在解决数学问题的过程中，也体现着同一性的规律。解决问题的思维过程，本质上是不断变换问题的过程，将问题逐渐转变成需要的形式，以便通过现有的知识就能够解决该问题。其实，整个变换的过程，就是数学思维同一性的展现。

在变换数学问题的过程中，如果存在差异，此时数学思维就应该按照思维的相似律解决问题。希尔伯特曾经对数学科学进行了阐述。他认为，数学科学是一个整体，各部分之间存在着紧密的联系，虽然数学知识种类繁多，内容千差万别，但使用的逻辑工具是一样的，概念、理论以及方法等存在着一定的亲缘关系，不同组成部分之间也存在相似之处。因此，数学思维中求同存异是普遍现象，异中求同以及同中辨异也成为解决数学问题中的常用过程。例如，解题过程中的一题多变，或是一题多解，以及题型归类等，都遵循了相似规律。这种规律具体体现在联想、类比以及化归等方法上。在教学的过程中，教师应该不断引导学生对相似因素的认识，加深对相似关系的理解，以使他们深层次地掌握数学科学的内部规律，进而增强思维的灵活性和创造性。

现代自然科学把经验的主体延伸至个人，即个体的经验可以通过祖先的经验而直接获得。比如，现在的学生能够直接应用数学公理解决数学问题，不需要证明，这是积累遗传规律的直接体现，这种规律也有效推动了数学思维的发展。