Copula函数与尾部指数：金融风险价值分析

假设随机向量的边缘分布u i＝F i(x i)，(i＝1，…，p)满足均匀分布U(0，1)，据Sklar(1959)的定理，可知p维随机向量的联合分布F(x 1，…，x p)与其边际分布有关系

则C叫作F的Copula。可见C(u 1，…，u p)是单位超立方体[0，1]p 中的多元密度函数。如果边缘分布是连续的，则存在唯一的Copula函数C，使得

反之，给定P元Copula函数C(u 1，…，u p)及边缘分布函数F 1(x 1)，…，F p(x p)，那么以F i(x i)为边缘分布的P元联合分布函数对应的密度函数为

若f i(x i)表示边缘密度，C表示由式(9.2)推出的Copula密度，则有

由于随机变量的联合分布函数直接定义了其间的相依性指标，因此Copula唯一地决定了随机变量之间的相依结构，其中常用的尾部相依性指标有上尾指数λu 和下尾指数λl，分别定义为(www.xing528.com)

利用Copula密度函数，该指标进一步表示为

Nelsen(2006)总结了一大类参数Copula函数。由于相关系数矩阵为R的多元正态分布函数生成的高斯Copula不存在尾部相依性，因而实证分析中利用自由度为η 和相关系数矩阵为R的t-Copula度量资产的尾部相依结构，即

其中t表示自由度为η 的一元标准学生t分布的逆函数，u＝(u 1，…，u p)。当η→∞时，t-Copula退化为高斯Copula，其尾部指数λu＝λl＝0，也即尾部独立，而t-Copula的尾部指数为

这里tη＋1表示自由度为η＋1的标准一元学生t分布。倘若考虑不同时刻新息对资产价格的冲击程度不同，使得η 和ρ 都具有时变特征，因此尾部指数也具有时变性。