金融风险价值量化分析：Copula函数和小波方法

假设随机变量X i(i＝1，2，…，d；d≥2)的分布函数为F i(x)＝Pr(X i≤x)。根据Sklar(1959)定理，X＝(X 1，…，X d)的联合分布为

其中Copula函数C 的边缘分布F i(X i)＝u i 是均匀分布(0，1)，C 是随机向量(X 1，…，X d)的相依结构函数，F i 不会影响C 的解析式(Joe，1997；Cherubini，2004；Nelsen，2006)。

令h(x)＝∂d H(X≤x)/∂x，f i(x i)＝∂F i(X i≤x i)/∂x i，对u i∈(0，1)可得联合分布的密度函数

从而Copula密度函数c(u)＝∂d C(u 1，…，u d)/∂u 1…∂u d 表示为(www.xing528.com)

对任意 Φ(u) ∈ L 2([0，1]d) 关于c(u) 的期望为 E c(Φ)＝∫[0，1]dΦ(u)c(u)du，由式(3)得

式(8.4)是Copula密度函数的一个重要性质，有助于矩法估计Copula函数中的参数。其中边缘分布和C 函数的选取是建立相依结构模型的两个关键步骤。一方面，若Copula的参数形式记为{Cθ，θ∈Θ}，则参数θ 决定了Copula函数曲面的结构特征。比如，Gaussian-Copula和t-Copula、Gumbel-Copula、Clayton-Copula和Frank-Copula等参数Copula函数常用于度量具有不同局部特征的相依结构(EmbrechtS，1998；Cherubini等，2004)。另一方面，任何参数分布或者随机模型都难以全面地量化受到噪声污染的观测数据的分布特征。从这两方面考虑，下面引入小波方法对数据进行降噪处理并准确地量化式(8.4)中边缘分布F i(X i)＝U i，以此实现对Copula函数中边缘分布的最佳度量。