金融风险价值量化分析：仿真结果及验证

由于DB8小波函数在多尺度分析中不存在相位平移(Vidakovic，1999)，而且该小波函数的紧支撑性降低了计算的复杂度，因此本节选用DB8小波对二元正态Copula进行仿真实验，其中参数ρ＝－0.8∶0.2∶0.8，样本容量T分别取为512、1024、2048、4096、8192、16384。利用软件Matlab2010a 和Wav Lab8.5编写程序：执行算法的步骤1至步骤6，计算以上六组仿真样本的相依结构的小波局部阈值估计量及其估值精度，还对仿真样本来源的正态Copula参数进行最优化校正，结果见图7.1和表7.1至表7.2。

注7.1　二元正态Copula的仿真说明：Copula参数取为－0.4，T 分别取为512、4096、16384，边缘分布取为标准正态分布，小波函数为DB8小波，最佳分解尺度J0＝2。图7.1(a)～(c)分别是基于不同样本容量仿真的Copula密度；图7.1(d)～(f)分别对应仿真Copula密度的最佳小波局部阈值估计量；图7.1(g)～(h)分别对应仿真正态Copula的最优化校正结果。

对图7.1的分析结果为：①依次对比(a)与(d)、(b)与(e)、(c)与(f)后发现，当样本容量较小时，由小波局部阈值估计的Copula密度曲面存在很多小山峰(如(d))，随着样本容量增大，密度函数曲面的光滑度十分逼近真实Copula密度的光滑度(如(c))，视觉上更真实地体现了两个随机变量之间相依结构的局部特征，从而验证了定理的分析结论之一；②比较(a)与(g)、(b)与(h)、(c)与(i)可发现，对仿真样本的二元正态Copula的参数最优化校正是对真实相依结构的高精度刻画，这对随机变量相依结构建模提供了一种数值优化方法，也即在相依结构建模过程中，由于事先无法确定何种参数Copula模型，但是可以利用小波局部阈值方法估计量刻画样本数据潜在的相依结构，以此作为选取参数模型的基准，通过最小化均方积分误差(MISE)，从而实现寻求最佳参数Copula的目标。

图7.1　仿真的正态Copula及其最佳小波局部阈值估计量和参数最优化校正结果

表7.1　小波局部阈值估计量的估值精度MISE(，c)

续表

注7.2：小波估计子~c N 基于DB8小波，c 表示二元正态Copula密度。(www.xing528.com)

从表7.1可见：①当正态Copula的参数ρ一定时，小波局部阈值估计量的估值精度随着样本容量的成倍增加而提高，而且最佳的采样容量可以取为2048个；②当样本容量一定时，小波局部阈值估计量的估值精度随着正态Copula的参数ρ的绝对值减小而提高，这种变化关系具有近似对称性。

表7.2　Copula参数最优化校正及其最小均方积分误差MISE)

续表

注7.3：c表示最佳尺度j＝2时二元高斯Copula密度的小波局部阈值估计量，c^θ 表示对已设定参数ρ的二元正态Copula密度的参数校正。

表7.1的分析结果说明Copula参数一定程度上决定了其密度曲面的光滑度，因此Copula密度函数的光滑度对小波局部阈值估计量的估值精度有重要的影响，这也能由“小波函数对光滑性不太好的数值信号的局部变点检测”得到解释。

表7.2给出了基于最佳小波局部阈值估计量的Copula参数的最优化校正结果。可见Copula的光滑度和样本容量是影响Copula参数最优化校正的重要原因之一。

总体而言，仿真结果检验了小波局部阈值估计量的可行性和正确性，还证实了定理1对该估计量的估值精度分析的正确性。当s 和d 都是确定常数时，只有T 影响到估值精度，而且当T 足够大时估值精度越高；当T 和d 都是确定常数时，只有S影响到估值精度，而且当S越大时估值精度越高，表明Copula密度越光滑，该估计量更能刻画样本数据之间潜在相依结构的局部特征。