金融风险量化分析：二、三维Copula的小波线性估计

假设(X 1，X 2，X 3)为三维实值随机向量，边缘分布函数分别设定为F i(x)＝Pr(X i＜x)，i＝1，2，3。根据Sklar(1959)[1]定理，则(X 1，X 2，X 3)的联合分布为

其中C 为联合分布函数，边缘分布(U 1，U 2，U 3)＝(F 1(x)，F 2(x)，F 3(x))∈(0，1)3 为均匀分布。在未知F i 和C 所属的分布函数簇时，常常利用边缘分布的经验分布对潜在Copula进行统计推断。假设(X 1，1，X 2，1，X 3，1)，…，(X 1，T，X 2，T，X 3，T)是从未知分布H 中抽取的T 组样本，(R 1，i，R 2，i，R 3，i)表示(X 1，i，X 2，i，X 3，i)秩序统计量，经验分布函数为

易见，(R 1，i/T，R 2，i/T，R 3，i/T)表示从C(u 1，u 2，u 3)中随机抽取的不可观测边缘分布(U 1，i，U 2，i，U 3，i)的样本值，容易证明C(u 1，u 2，u 3)∈L 2(R 3)。由于样本的经验分布是无偏估计量，因此将其代替真实的边缘分布，对(X 1，X 2，X 3)的Copula密度C(u 1，u 2，u 3)进行统计推断。利用式(6.3)、(6.6)和(6.7)，可得：

其中尺度系数和小波系数分别为

注意C(u 1，u 2，u 3)是概率密度函数，因此αj 0，k和β的矩估计为(www.xing528.com)

在适当尺度J max≥j 0≥1，对式(8)截断得到C(u 1，u 2，u 3)的小波线性估计量为

由于Copula密度的尺度截断量c j 0在立方体[0，1]3 的某些区域内可能取负值，使得其积分和小于1。因此，线性估计量j 0未必也是一个标准的Copula密度，但可以规范化为一个Copula密度。j 0与c 的均方积分误差为：

其中j 0将潜在Copula密度分解为趋势估计量和水平、垂直、对角等三个方向上的细节估计量，基于分解尺度的变化，该估计量逐尺度识别出真实Copula的主体趋势和局部细节的动态演进特征。