金融风险价值量化分析：小波多尺度分析的应用

小波分析已经成功地应用于不同的学科领域。比如，信号检测、图像处理、数值分析、地球科学及统计学等。关于小波多尺度分析在统计学中应用的若干问题进一步参阅Vidakovic(1999)[9]的专著。

设一维尺度函数和小波函数分别为φ 和ψ 以及它们的伸缩和平移变换为：

对t∈R 和k∈Z，φ 和ψ 的正则性和紧支撑性确保φj，k(t)是L(R)空间的正交函数系。任意j∈N，k＝(k 1，k 2)∈Z 2，利用φ 和ψ 的张量积生成对应的二维尺度函数φj 0，k和水平、垂直、对角等三个方向上的小波函数ψ，ψ和ψ，也即：

因此，集合{φj 0，k，ψ，ψ，ψ∶j≥j 0，k∈Z 2，j 0∈N}是空间L 2(R 2)的一组正交基。任意二元函数h(x，y)在尺度j 0 分解为

式(5.3)中趋势成分为A j 0 h(x，y)＝αj 0，kφj 0，k(x，y)和细节成分为：(www.xing528.com)

其中αj 0，k、β、β和β(j≥j 0，k＝(k 1，k 2)∈Z 2)分别是尺度系数和水平、垂直、对角方向上的小波系数，也即：

由式(5.4)可知二元函数的小波级联分解就是尺度j 0＋1的趋势等同于尺度j 0的趋势成分加上水平、垂直和对角等方向上的细节成分，也即：

式(5.6)表明小波级联分解保留了尺度之间一贯的主体趋势特征和局部异质特征。若将多维小波用于相依结构的级联分解，则有助于从多时间尺度方向上深度剖析随机变量相依结构的趋势变化和局部异质特征。下面给出相依结构的小波线性估计方法。