金融风险价值量化分析-定义及主要结果

依据Cohen等(2001)和Kerkyacharian等(2002)，Besov空间的三个特征参数分别记为：s 为空间光滑度指数；m，n （?＋?＝ 1）为空间范数指标。本节在Besov球内(记为：B(R))完成对估值误差的收敛性分析。

定义4.1:(Besov范数)假设具有一定光滑度的密度p(x)∈B(R)，若尺度系数a J 0，k ＝∫p(t)φJ 0，k(t)dt和小波系数d j，k ＝∫p(t)ψj，k(t)dt，则p(x)的(m，n)-范数为

定义4.2:(Besov球)令Ωα(Aα)表示以Holder连续性指数为α 的密度函数P(x)构成的半径为Aα(0≤Aα＜∞)的函数集合，则Ωα(Aα)＝{p(x)∈B(R)|‖p‖Bsm，n ≤Aα，α≥s＞0}。

定义4.1和4.2界定了误差分析的空间及其元素应具备的特征。我们还定义Besov球内两个函数之间的均方误差准则(Mean Square Error)。这里仅考虑(2，2)范数的情形。对一般情形的分析类似完成。

定义4.3:(MSE准则)对任意(x)，p(x)∈Ωα(Aα)，定义均方误差为

由式(4.7)可见，在事先设定的密度空间内，μ和μ决定了a R(ϑ)的估值精度。我们借助VaR 定义将VaR(ϑ)与VaR(ϑ)之间的估值误差分析转为分析p(x)与p(x)之间误差的收敛性。基于Cohen等(2001)和Chicken and Cai(2005)，这里以MSE为准则分析小波阈值估计量(x)与真实p(x)之间的估值误差与样本容量T 之间的变化关系。考虑到(x)∈Ωα(Aα)是p(x)的样本估计量，由此可得三角不等式(www.xing528.com)

式(4.10)表明(x)的估值误差不超过估值偏差与截断误差之和。Autin等(2008)将minimax优化方法(Cohen等，2001；Kerkyacharian等，2002)拓展到maxset优化方法表明不断缩小优化空间能够得到密度函数的最优估计结果。由minimax方法(Donoho and Johnstone，1998)可知小波阈值估计量(x)也是Ωα(Aα)中的元素，因此MSE()的收敛速度可以放缩到对样本精确估计量的情形，也即MSE()≤MSE)。由此分析MSE)的收敛性缩放到分析MSE)随样本容量T 变化的快慢。进而我们对收敛性的分析主要考察小波系数的随机子块序列的收敛性，按照级数收敛性的辨别标准，找到收敛的上边界即可。为此收敛性分析的主要结果如下：

定理4.1:假设存在常数A 0≥0，ε＞0，γ＞0，K 2＞0，C 0＞0，使得

根据式(4.11)可知lim T→∞MSE()＝0，即当样本量足够大时，密度函数的小波阈值估计量(x)在均方意义下收敛到真实密度p(x)，两者之间的估值偏差可以忽略掉，因此式(4.7)计算的风险价值aR(ϑ)收敛到精确值VaR(ϑ)。VaR 的多尺度模型的精度分析表明：

(1)资产收益率分布密度的解析性对VaR 的估值存在明显的影响关系，α决定了VaR 估值偏差的边界，α 的影响也体现在阈值规则对小波系数的自适应处理；

(2)在利用有限时间窗口内的收益率时序估计真实的分布密度函数时，样本容量T 是影响VaR 多尺度模型的估值精度的又一重要因素。在不考虑其他影响时，T 越大模型的估值精度越高，这一点在ϑ 值很小时或者接近1时将显得更加明显。