在学生几何学习的有关研究中，荷兰数学家范希尔夫妇提出的儿童几何认知阶段理论体系影响最大。
（一）学生几何认知水平五阶段
范希尔理论提出儿童的几何（欧氏几何）认知水平存在五个阶段，该理论合理地刻画了学生的几何认知水平。后来范希尔夫妇把原来的五个认知水平合并为三个，分别是：直观水平、描述水平、理论水平，但大多数学者更倾向于依据范希尔的“五阶段”理论开展儿童几何学习的研究，范氏理论认为儿童几何（欧氏几何）认知水平的五个阶段是：
1．阶段0：观察——识别几何图形水平。
视觉阶段儿童的认知水平体现在能够识别图形的整体轮廓，区分和操作边、角等几何构图元素，画出和临摹出图形并用语言描述图形，通过图形操作解决简单问题，但儿童对图形特征或要素的分析水平、图形的概括水平不高。
2．阶段1：分析——描述几何图形性质水平。
分析阶段儿童的认知水平体现在已经有丰富的视觉辨别经验，能够分析图形的要素和特性，并利用它们解决一些简单的几何问题，能够分析比较多个图形相对应的要素和特性，并进行简单分类，但儿童准确理解图形定义、把握图形要素之间逻辑关系的几何水平较低。例如，在三角形这个问题上，此阶段学生能够知道由三条边组成的图形是三角形，而角度越大的角对应的边越长他们就不能理解了。
3．阶段2：非形式化的演绎——抽象概括图形性质水平。
非形式化的演绎阶段儿童的认知水平体现在能够把握几何图形的性质、构成要素及其逻辑关系，能够理解和掌握几何图形的本质属性及其定义，掌握简单的推论，但演绎推理水平较低。例如，学生在学习了平行四边形以及平行四边形的相关性质以后，他们能做出长方形也是平行四边形的判断，知道长方形只是比平行四边形多了一些限制条件，但此阶段学生对某些平行四边形性质的推理就比较困难。
4．阶段3：演绎——用公理和定理进行证明。
严密性阶段学生处在较高水平的认知阶段，他们懂得几何定理是通过逻辑推理构建的、必须经过证明，能从公理、定理、定义、性质出发，通过演绎推理证明一些新的几何推论，但把握几何定理体系的水平较低。例如，至少一组对应边相等或一组对应角相等是证明两个三角形是全等三角形的必要条件，两组对应角以及两个角所夹的边对应相等是证明两个三角形是全等三角形的充分条件，但此阶段学生根据问题条件准确选择定理来证明两个三角形全等有时会有困难。
5．阶段4：严密化——建立各种几何体系。(https://www.xing528.com)
严密性阶段学生处在高水平认知阶段，他们能严谨地建立定理体系并分析比较不同体系的几何，这一个水平层次只有极少数的人才能达到。例如，此阶段学生能准确的区分欧式几何与非欧几何的异同，可以建立非欧几何体系定理网，可以了解几何当中的抽象推理，甚至可以自己建立一套完整的几何公理体系。
小学阶段儿童的几何思维发展水平主要处在前三个水平阶段：观察、分析、非形式化演绎。小学低年级学生大多数处于几何认知水平的视觉阶段，少数学生处在分析阶段；小学三到五年级的绝大部分学生处于几何认知水平的水平分析阶段，很少处在视觉阶段与非形式化演绎阶段；小学六年级学生的几何认知水平主要处在非形式化演绎阶段。
（二）小学生几何思维发展阶段性
范希尔夫妇的研究表明，相对应于儿童的几何认知水平五阶段，儿童的几何思维发展水平存在阶段性，不同水平阶段的孩子有不同的思维特征。不同阶段小学儿童几何思维发展的特点为：
1．水平0，处于几何认知水平的观察阶段：物体就是几何图形。
水平0被认为属于前认知阶段，此阶段儿童的几何思维发展水平较低。处于水平0学生的思维特征是依赖几何对象的具体形象或自己的感知觉刺激，思维结果为能识别一些“形状相同”的几何图形。儿童的几何思维依赖于直观经验、依赖于外界客观世界的实物，儿童能感觉客观现实的直观几何形状，但认识几何图形只停留在认知对象形状的个别直观特征上。例如，儿童可以区分“形状不同”的正方形和圆，但对于“形状”差别不大的正方形和平行四边形图形，可能就难以正确区分。
2．水平1，处于几何认知水平的分析阶段：能够思考物体某部分的几何图形。
水平1被认为属于直观化阶段，此阶段儿童的几何思维发展呈现直观性特点。他们以知觉为主，知觉主宰着几何推理，识别和思考几何图形时依赖实物或图形的直观形状，但往往意识不到图形的几何性质。在这个水平上的学生可以区别形状不同的诸如“长方形和三角形”图形，但难以区分一些在抽象性质上有差异的诸如“正方形和菱形”图形。
3．水平2，处于几何认知水平的非形式化演绎阶段：能够根据图形性质的逻辑关系来识别和思考一些几何图形。
水平 2 被认为属于描述/分析阶段，此阶段的儿童的几何思维发展出现逻辑性特点。他们可以利用图形性质的逻辑关系识别一些图形，抽象一些图形的特征，依据操作活动描述图形性质，但难以发现两类图形之间的逻辑关系。例如，儿童通过观察、测量、搭建或描绘等活动，可以把一些图形性质用日常生活用语描述出来。
范希尔认为儿童几何思维发展水平阶段性的特点有：一是几何思维水平的发展呈现非连续性的，不同阶段儿童的几何思维水平存在性质差异；二是几何思维水平的发展呈现层次性，儿童几何思维发展不能绕过低一层次水平而直接发展到高一层次思维水平；三是几何思维水平的发展呈现递进性，儿童高一层次几何思维水平中的几何特征往往是在前一水平中已有所蕴含的性质；四是几何思维水平的发展呈现独特性，儿童在不同水平层次有自己独特的语言符号系统以及联结这些符号的关系系统。
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