小学空间几何的教学内容分析 - 小学数学教育心理学分析成果

（一）认识图形

1．认识一维、二维、三维几何图形

认识直线、线段和射线，这是小学中年级的空间几何教学内容。儿童在小学低年级学习了一些简单的较为直观的空间几何知识，形成了一些简单的几何图形的表象，学生在此基础上进一步学习直线、线段和射线等这些较为抽象的几何概念。

认识平面图形，包括角、三角形、规则四边形、圆和两条直线的关系。在小学数学空间几何中的平面图形具体包括直角、锐角、钝角、周角、平角及其之间的关系，平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系；三角形、长方形、正方形、平行四边形、圆等平面图形，以及各类三角形（等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形），平面图形贯穿于小学低、中、高年级数学中，学生从学习最简单的平面图形“角”开始，随着年级升高，逐步学习较为复杂的平面图形“三角形”“四边形”“圆”。

认识立体图形，包括长方体、正方体、圆柱、圆锥和球等立体图形。学生对立体图形的学习，主要分布在小学低年级和高年级数学教材中，小学低年级学生主要是通过现实生活中的一些规则形状的实物来构建立体图形的表象，例如，通过牙膏盒学习长方体，通过魔方玩具学习正方体，通过篮球足球学习球体；而小学高年级学生学习的立方形则是它们抽象的概念、特征和性质等。

2．辨认三视图。从正面、侧面、上面观察较为简单的、规则的物体形状，辨认不同方位看到的物体的形状和相对位置。学生在低、中年级的几何学习中掌握了一些简单的实物立体模型和平面图形模型后，小学数学教材安排低年级学生从不同角度观察一个实物，感受不同角度观察同一实物可能会有不同的观察结果，安排中、高年级学生通过观察实物，理解简单的三视图，随年级升高，观察对象逐渐增加，对象关系也随之复杂。

（二）测量

测量是通过数值量化物体的属性，让抽象和具体相互联系。测量活动的本质是比较，是把待测定的量同一个作为标准的同类量进行比较的过程，测量是用预先约定为“1”的物体属性去和要测量的对象进行比较，比较所得次数便是测量的结果。用来作为测量标准的量叫做测量单位，一个测量单位往往被赋予数值1，其本身是从待测的连续量中截取的一个部分。测量的结果将是得到被测对象有多少个计量单位，可以用一个数字来表示，即一个表示被测的量与作为测量单位的量之比的抽象的数。

测量涉及比较、分解图形、量化物体长度和面积等，能够有效地促进学生数学思想的发展。测量可以精确地描述几何的形状，有效地了解物体之间的相互关系，帮助学生解决生活中的实际问题，让学生体验数学在生活中的应用、认识数学的价值。

测量单位是学生学习测量的一个核心概念，学生学习测量单位之前也会在日常生活中进行一些简单的测量，但那时他们不是使用数学的测量单位，还不能称为真正意义上的测量，学生只有学会用数学测量单位进行测量才能算是掌握了测量。相较于认识简单的几何图形，小学数学教材的测量内容安排相对较晚，一般在中年级开始，皮亚杰认为测量比数概念的发展要晚些，把测量对象的连续整体分成互相替换的单位，要比数出已经分开了的元素困难得多。

测量属于数学学习的基础知识和基本技能，学生学习测量除了要学习测量单位外，还要学习测量工具和测量工具的使用方法。测量不同的实物或几何图形，可能其测量工具也不同；而测量工具不同，测量单位和测量方法也不同。例如测量角的大小，需要使用量角器，量角器是用来量取角的度数的一种仪器，测量单位是“度”，用数学符号“°”来表示，量角器不仅可以用于度量“角”的大小，还可能帮助人们准确地把“角”画出来；测量物体或图形的长度，需要使用尺子，测量单位是“千米、米、厘米”等，在数学上可以用英文符号“km、m、cm”等来表示。

“图形与几何”关于测量的教学，从测量长度开始，测量物体和图形的长度，测量单位用“千米、米、厘米、分米、毫米”等，测量长度包括测量线段的长度、测量和计算周长。小学数学教材在小学低年级安排测量长度内容，学生学习长度测量从学习最为常用的测量工具“尺子”、测量单位“厘米、米”和测量实物开始，测量单位对于低年级学生来说较为抽象。(www.xing528.com)

几何面积的测量和计算被安排在小学中年级，是小学生在学习了测量长度的有关知识之后。几何面积的测量和计算的学习内容主要包括面积单位（平方厘米、平方米、平方千米）、面积的单位换算和各种规则图形的面积计算公式。例如，三角形、长方形、正方形、平行四边形和梯形的面积计算。

小学数学几何测量是按照“一维空间——二维空间——三维空间”几何内部规律性的顺序安排，小学生学习测量顺序按照“一维长度的测量——二维面积的测量——三维体积的测量”。小学数学在高年级安排了几何体积的测量和计算，包括体积单位、体积的单位换算和各种规则图形的体积计算公式，体积单位主要有立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升，几何体积的测量和计算主要有长方体、正方体、圆柱等几何图形的体积以及实物的体积（容积）的测量和计算方法。

小学数学在中年级还安排了角的度量，学生的学习包括认识测量角的工具即量角器，学习使用量角器量度量角的大小，学习使用量角器画指定度数的角等等。

（三）图形运动与变换

《课程标准（实验稿）》中的“图形与变换”内容在《课程标准（2011年版）》中被修改为“图形的运动”，此修改意图是突出从运动的角度探索和认识图形与几何的性质，强调了“运动”是研究几何图形的一种重要角度和有效方法，强调在教学中引导学生从运动的角度丰富和拓展对图形的认识。

早在1872年，德国数学家菲利克斯·克莱因教授就运用运动的思想来研究几何，提出用变换群将几何分类，认为几何无非是研究某种变换群下的不变量，并把到当时为止已发现的所有几何统一在变换群论观点之下。按照克莱因的观点，我们所研究的几何图形的种种性质，只不过是研究几何图形在各种几何变换下的不变性和不变量。引入运动变换思想到几何研究中，更新了传统欧氏几何的数学观点及其研究视野，把“图形的运动”引入中小学数学课程，增加了空间几何内容，改造了几何课程的结构，拓宽了学生的学习视野。

“图形的运动”进入我国中小学数学课程的时间较晚，与图形运动有关联的“轴对称”图形在1954年的《中学数学教学大纲（修订草案）》中就已被涉及，但可惜的是真正的图形运动“平移”和“旋转”内容在当时并未出现。上世纪90年代初的上海市新编中学数学教材中的空间几何部分安排了“图形的运动”（包括平移和旋转）内容，本世纪初的新课程改革，正式把 “图形的运动”安排进我国的小学数学教材。“图形的运动”的教学关键在于让学生领会各种不同图形运动的方式、规律，在小学数学教材中，“图形的运动”呈现两种基本“运动”形式：一是仅发生位置变化，形状和大小不变，如平面图形的平移、旋转、轴对称；二是图形大小发生变化而图形形状不变，如平面图形的放大与缩小。

小学数学空间几何中安排的“图形的运动”内容主要有：平移、旋转、对称轴、对称图形、简单图形的放大或缩小等等。小学数学教材在二年级就开始安排 “图形的运动”内容，通过学生对生活中“图形的变化”的认识，观察和认识现实世界里物体的平移、旋转、翻折的运动现象，感受和体验“图形的运动”，建立平面图形运动的几何框架。

（四）图形与位置

《数学课程标准》非常重视“图形与位置”，教材增加了不少有关“图形与位置”的内容，小学生从中学习确定方位、辨认方向的方法，看懂路线图等基本技能。“图形与位置”的教学内容主要由两方面的内容组成：一是确定物体的相对位置，包括物体的位置、物体和物体的相互位置等，具体安排是第一学段主要学习根据一个维度方向来确定位置，用于描述物体相对位置的词有上、下、左、右、前、后，教学重点是让学生在具体情境中学会观察、描述物体的相对位置；第二学段所涉及的知识技能比较多，主要学习根据两个维度即方向和距离来确定物体所在的位置；二是辨认方向和使用路线图（包括比例尺的应用）。具体安排是第一学段的学生主要学习认识方向，学习用方位词描述物体所在方向，用于描述方位的词有东、南、西、北和东北、西北、东南、西南，第二学段的学生主要学习根据方向和距离确定物体的位置，学习看、描述简单的线路图，用数对来表示位置、用数对确定位置。