小学数学规则构建的思维特征

（一）小学儿童依赖具体直观性思维构建数学规则

瑞士心理学家皮亚杰认为小学儿童处于认知发展的具体运算阶段。这一阶段，儿童形成了初步的运算结构，出现了逻辑思维，但离不开具体经验，缺乏概括能力，儿童的思维还直接与具体事物相联系，抽象推理尚未发展，不能进行命题运算。儿童的抽象思维水平较低，掌握数学规则都是以具体的计算为起点，儿童的数学规则学习通常是通过一定数量的具体例子从中发现一些带规律性的计算方法或具有普遍适用性的运算程序，并通过归纳概括上升为运算法则，然后用概括出来的法则指导儿童解决学习生活情景中的问题，将抽象的运算规定变成具体化的计算过程。

小学数学课程中很多内容都是按照这种程序编排的。如乘法的学习（北师大版小学《数学》二年级上册“三 数一数与乘法”中的“乘法”内容）（图3-2），第1课时教材先安排数一数内容，通过这些例子，学生从中会发现一些规律：数数有各种方法，可以1个1个数，可以2个2个数，可以5个5个数，……2个2个数、5个5个数比1个1个数节省时间；在现实生活情景中，存在大量“有多少？”的数学问题，如果我们要想知道“有多少个？”，用几个几个数的方法能较快得到答案；还可以通过列式计算，把几个几个数操作过程转变成“几个相同的加数相加”的算式。在这几个递进的数学活动中，学生可以积累数的活动经验，体验相同加数连加的现实性，体验相同加数连加的算式简洁性，在活动过程中儿童经历了相同加数连加的抽象过程，积累了连接乘法与加法内在联系的直观经验。

图3-2

第2课时教材安排从数人数到加法列式，再到乘法的意义。学生在第1课时已累积了“几个几个数”“相同加数的加法”的经验，教师只要激发学生“相同加数的个数较多时，是否有其他更为简便的算式”意识，就可以从“几个相同加数的加法”顺利过渡到“乘法的意义”，即从加法中进一步抽象出乘法，进而再得出乘法的定义。“几个几个数”到“相同加数的加法”，最后变成具体的乘法计算，完成学生对算式的升华。

（二）小学儿童构建数学规则的思维活动逐步简略化

小学儿童数学规则学习是从展开的、详尽的思维活动到压缩的、省略的思维活动的过程。数学规则应用是数学规则学习的重要环节，在学习新法则初期，小学儿童的思维是展开的、详尽的，是一个充分认识、深刻理解法则的过程，以保证理解规则的正确性，此阶段学生是按照法则所规定的步骤一步一步展开、一步一步应用。当他们对数学规则有了正确理解和熟练掌握以后，在规则应用过程中就会逐步压缩某些中间环节，省略和简化规则中的某些具体化思维过程，此阶段学生运用公式的速度会适当加快，同时确保运用公式和公式推导的有效性。

例如，小学儿童学习异分母分数相加减法法则（北师大版小学《数学》五年级下册“一 分数加减法”中的“折纸”内容）（图3-3）。教学内容有三个知识点：一是异分母分数相加减法法则的算理，教材通过画一画，让学生理解异分母分数相加变成同分母分数相加的原理。二是通过画一画，让学生理解异分母分数相减变成同分母分数相减的原理。三是让学生学习异分母分数相加减法的法则，并通过等练习，简化和压缩某些中间环节，让学生较熟练地掌握异分母分数相加减法的法则。异分母分数相加减法法则是先通分，然后按同分母分数相加减法法则进行运算，同分母分数相加减法法则是分母不变，分子相加减。如果儿童已熟练掌握对异分母分数相加减法法则，则可能省去使用同分母分数相加减法法则这一步骤，即通分后，直接把同分母分数相加减。例如，，当学生熟练了同分母分数相加减法法则后，第二步骤“=”可以省略；当学生熟练了同分母分数相加减法法则和异分母分数相加减法法则后，第一步骤和第二步骤“=”均可省略和简化。

图3-3(www.xing528.com)

（三）小学儿童依赖数学规则的思维策略

学生主要是通过上位学习、下位学习二种思维策略来学习数学规则。如果数学规则A包含了数学规则B，就说数学规则A是数学规则B的上位规则，数学规则B是数学规则A的下位规则。

原有数学规则为下位的，新学习的数学规则是原有规则的上位规则，这一学习称为上位学习，亦即上位学习是通过对原有认知结构中与规则相关内容的归纳和综合，概括成新的数学规则的学习形式。在数学教学过程中，总结运算法则、概括运算律和运算性质、建立概括层次较高的计算公式等通常都要采用上位学习策略。上位概念一般概括性高、较抽象。例如，根据在学生头脑里已掌握的 3＋5＝5＋3、25＋75＝75＋25、500＋400＝400＋500等运算规律，通过分析、比较等思维活动，概括出加法交换律a＋b＝b＋a，这就属于上位学习。

上位数学规则学习所采用的思维方法主要是分析、比较、概括、归纳等，上位规则学习策略主要通过归纳和综合原有认知结构中的有关内容而建立新的认知结构。采用上位学习应具备两个基本条件：一是所学习的数学规则的概括水平要高于原有认知结构中的已有知识；二是原有认知结构中要有能归纳和概括出上位规则的内容，即头脑里应具有比新的数学规则层次低的相关内容。例如，乘法法则（北师大版小学《数学》二年级上册“三 数一数与乘法”中的“乘法”内容）（图3-2）教学，在学习乘法意义之前，教材先安排数一数“有多少块糖”的教学内容，目的是唤醒学生头脑中的有关相同加数连加的知识，让学生体验相同加数连加的简便性，并在归纳、概括出相同加数加法的规律性之后，把相同加数加法上升到加法的上位规则——乘法。

原有规则为上位的，新学习的规则是原有规则的下位规则，这一学习称为下位学习。下位学习是通过在原有知识结构中找出与已有规则相关联的有关部分内容，构建新的规则，并把新规则纳入认知结构中相应的规则体系的学习形式。新规则能够丰富原有规则，对原有规则起到固定、补充作用。例如，长方形面积公式与正方形面积公式，后者是前者的下位规则，学习正方形面积公式，只要引导学生在学习长方形面积公式时，注意到当长方形的长逐渐变短，长方形变成正方形时，长方形面积公式演变成正方形面积公式，即正方形面积公式＝边长×边长，这就属于下位规则学习。

小学生主要采用分析与迁移方法学习下位规则，下位规则的学习策略是通过分析原有认知结构中有关内容的相关性，把原有规则迁移到新情境中构建立新规则。例如，三、四位数的加法法则（北师大版小学《数学》二年级下册“五 加与减”中的“回收废电池”内容）（图3-4）教学，学生已在一年级学过两位数加法的笔算，掌握了加法运算法则，教学时教师只需引导学生复习并思考两位数加法法则的算法与算理，把两位数加法法则的算法与算理迁移到三四位数、四位数的加法中，教师对学生适时点拨“无论是两位数加法还是三位数、四位数加法，它们的算法与算理都相同”，学生就能顺利理解和掌握三、四位数加法法则，从而解决新课题，并使原有加法法则得到充实和拓展，使加法知识获得新的意义。

图3-4

一般地来说，上位规则学习较难，下位规则学习较易。上位规则学习较难是因为上位规则学习需要学生分析、综合、概括，要求学生的思维水平较高；下位规则学习较易是因为下位规则可以直接从学生已有的知识中推论得来，即学生使用迁移策略即可获得下位规则，学生学习时需要的思维方法较少。

从学习认知方式来看，上位规则学习依靠的是顺应，顺应指的是外部环境发生变化，而原有认知结构无法同化新环境提供的信息时所引起的认知结构发生重组与改造的过程，它需要改造原有认知结构才能获得新规则的意义，学习心理是以辨认、假设、验证、抽象、概括等为主的一系列认知加工过程，给学生提供的既包括知识信息，还包括智能信息。上位规则学习对应的是发现学习方式。

下位学习依靠的是同化，同化是指图式从已有水平出发来理解新知识和经验，对输入刺激加以选择和改造，以使刺激能够被纳入现有图式中的过程，它需要新规则与原有认知结构相互作用并被纳入原规则中，学习心理是以归纳、具体化等为主的思维过程，通过设置原有规则在新情境中对具体问题的解决，使有关数学认知结构深入、充实和完善，并建构新的数学认知结构的过程。一般说来，下位规则学习对应的是接受学习方式。