广义相对论与几何学的密切关系-数学宇宙的语言

广义相对论与几何学有密切的关系.几何学反映的是人对空间关系的认识.之前人们只是在较小的空间尺度接触较弱的引力，这种情况下时空的弯曲可以忽略不计，在此基础上发展起来的欧几里得几何学，反映了平直空间的实质.然而广义相对论告诉我们，时空本质上是弯曲的，因此描述时空应当使用更具一般意义的非欧几何学.

正如在第3讲中谈到的，对于欧氏几何第五公设的研究，掀起了几何学的大变革，非欧几何由此产生（图10-5）.

图10-5　三种几何

黎曼于1854年在哥廷根大学发表的题为“论作为几何学基础的假设”的就职演说中提出的几何学，通过截面曲率K的不同取值，将欧几里得几何和非欧几何作为其特例：

（1）K=0，为欧几里得几何；

（2）K=1，为椭圆几何（黎氏几何）；

（3）K=-1，为双曲几何（罗氏几何）.

对于一个曲面而言，它的总曲率，即高斯曲率，事实上是不依赖于这个曲面在空间中的摆放位置，只与这个曲面本身的度量有关系.这开创了内蕴几何的研究先河.黎曼把高斯的这种思想推广到了更高维的空间，提出了流形和截面曲率的概念.形象来说，所谓一个流形是在局部上同胚于欧几里得空间，但在整体上它是弯曲的.

数学基础较好的读者可以参看下面几个流形的例子.

例1 拓扑流形（局部欧氏空间） 设（Mn，τ）是Hausdorff空间，若有开覆盖｛Oα｝满足：对任意Oα，都存在同胚ψα：Oα→Vα⊂Rn，称Mn是一个n维拓扑流形.

例如，我们所在的地球球面，就可以看作是一个二维拓扑流形（图10-6）.

图10-6　拓扑流形(www.xing528.com)

图10-7　微分流形

例3 流形上的拓扑结构与微分结构 同一拓扑流形可以具有本质上不同的微分结构.

（1）米尔诺（J.Milnor）首先发现作为一个拓扑流形（米尔诺怪球），七维球面上可有不同于标准微分结构的怪异微分结构.

（2）弗里德曼（A.Freedman）和唐纳森（S.Donaldson）等得出如下的重要结果：四维欧氏空间中也有多种微分结构，这与其他维数的欧氏空间只有惟一的微分结构有着重大区别.

要想度量流形上两个点之间的距离的话，可以借助于黎曼度量来实现.黎曼度量就是一个与点有关的二次型，具体数学表达式如下

利用黎曼度量，我们就可以仿照高斯的思路建立起来流形的内蕴几何，从而计算流形的曲率、测地线等，进而计算流形的体积等一些几何量.