物理学推导：洛仑兹变换的数学解析

下面，从上一节提到的两条基本原理出发，从物理角度推导出洛仑兹变换，此方法归于爱因斯坦.

按照图9-4所示两坐标系的相对取向，两坐标系的x轴永远是重合的，为简单起见只考虑x轴上发生的事件.任何一个这样的事件，对于坐标系S，是由横坐标x和时间坐标t来表示；对于坐标系S′，是由横坐标x′和时间坐标t′来表示.

图9-4

在坐标系S中，沿着正x轴前进的一个光信号按照方程：

传播.由于在坐标系S′中，同一光信号必须以速度c传播，因此有类似的方程：

上述两式要想同时成立，需要满足关系：

如果对沿着负x轴传播的光信号应用完全相同的考虑，可得

将两式相加与相减，则有

其中

下面来求常数a和b.

相对性原理告诉我们，依照坐标系S度量的相对于坐标系S′静止的单位量杆的长度，一定等于依照坐标系S′度量的相对于坐标系S静止的单位量杆的长度.为了看一看由坐标系S观察x′轴上诸点的样子，只需从坐标系S对坐标系S′拍个“瞬时快照”，例如选取时刻t=0得

因此，如果在坐标系S′系中测量x′轴上两点相隔的距离为Δx′=1，该两点在坐标系S的“瞬时快照”中相隔的距离为

但如果从坐标系S′在t′=0时刻拍快照，从方程中消去t，可得

因此，在坐标系S中，x轴上相隔距离为1的两点在瞬时快照中相隔的距离为

由相对性原理，这两个快照必须是全等的，也就是

因此

将上式代入变换公式，就得到了洛伦兹变换：

如果要由第二个坐标系的时空坐标表示第一个坐标系的时空坐标，那么由相对性原理知，只需把速度由v改为-v即可，得(www.xing528.com)