法拉第在电磁学的研究中摒弃了牛顿的超距力理论，提出了“场”的观念.物理学中，场是指分布在空间区域或空间区域一部分上的物理量，是用来描述空间中某种物质的分布情况；从数学的角度上看，场实际上是一个映射：将空间中一点映为一个向量则为向量场（或矢量场），如速度场、引力场、电场强度场、磁场强度场等；将空间中一点映为一个数则为数量场（或标量场），如温度场、密度场、电位场等.无论是向量场还是数量场的研究都要从宏观和微观两个角度去展开，既需要掌握场中物理量的总体分布情况，也要揭示物理量在场中各点的变化规律.场的几何描述中的等量面或等量线（如等温面、等高线）或向量线（如磁力线）直观阐释了场中物理量的总体分布情况。下面列出的物理学中有深刻意义的三种场：梯度场、散度场和旋度场，则是在微观意义下揭示了物理量在场中各点的规律.
在数学中，采用如下的哈密顿（Hamilton）算子
作为一种运算符.
（1）梯度场：梯度场是数量场产生的向量场.
对于空间数量函数u=u（x，y，z），其梯度可表示为如下的向量函数
记为grad u.物理意义上，梯度的方向为u（x，y，z）的函数值增加最快的方向，梯度的长度等于u（x，y，z）在这个方向的变化率.
在物理上，若一向量场正好是一个数量函数u（x，y，z）的梯度，则称该向量场是有势（位）场，并称u（x，y，z）为该向量场的势（位）函数.
（2）散度场：散度场是向量场产生的数量场.
（3）旋度场：旋度场是向量场产生的向量场.
在本节的最后，简单介绍一个很有用的数学工具——外微分.在外微分的形式下，可以将微积分学的四个重要的公式：牛顿-莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式统一起来，这四个公式都是将某区域上的积分用这个区域边界的积分表示，是同一种关系在不同维空间的表现形式.
以三维欧氏空间R3为例，以dx，dy，dz分别表示x轴、y轴、z轴上的有向线段微元，符号“∧”被引入表示微分的外积，以两个微分的外积dy∧dz，dz∧dx，dx∧dy分别表示yoz平面、zox平面和xoy平面上的有向面积微元.为体现有向性，约定
同理，可将dx∧dy∧dz视为R3中的有向体积微元，对于这一体积微元，任意交换相邻的位置，得到的值与原来的值相反.
设函数f（x，y，z），P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）连续，且有一阶连续偏导数，则称Pdx+Qdy+Rdz为一阶微分形式；称Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy为二阶微分形式；称fdx∧dy∧dz为三阶微分形式；称函数f，P，Q，R为零阶微分形式.上述微分形式可以类比R3中的向量定义微分形式的和及函数乘积，并规定微分形式的外积运算满足分配律.(www.xing528.com)
对于R3，其中只有四种微分形式，分别定义每一种外微分如下：
利用外微分可以得到广义的斯托克斯定理，它可以统一牛顿-莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式与斯托克斯公式，是数学中和谐美的体现.广义的斯托克斯定理形式如下
其中D表示积分区域，它可以是一个闭区间，一个平面（或空间）有界闭区域，或者空间有界曲面，∂D表示D的有向边界.
例1（牛顿-莱布尼兹公式） 在广义的斯托克斯定理中，令ω=f，D=［a，b］，则有牛顿-莱布尼兹公式
例2（格林公式） 在广义的斯托克斯定理中，令ω=Pdx+Qdy，D为平面有界闭区域，则有格林公式
其中dx∧dy表示正的面积微元，∂D表示区域D的正向边界.
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