【摘要】：首先考虑一个自由粒子，其拉格朗日函数为，由于在惯性参考系中时间和空间都是对称的（时间具有平移对称性、空间具有平移对称性和旋转对称性），因此（1）由时间和空间的对称性可知其拉格朗日函数不显含时间t和位置向量，即为；（2）由空间的旋转对称性可知其拉格朗日函数不依赖于速度的方向，只能是速度大小的函数，因此可取特别的，令得将L的表达式代入欧拉-拉格朗日方程，有得，即加速度，此即牛顿第一定律.下面考虑s个自
将L的表达式代入欧拉-拉格朗日方程，有
下面考虑s个自由质点组成的质点组的拉格朗日函数
将其代入欧拉-拉格朗日方程
此即牛顿第二定律.
那么，拉格朗日力学系统如此精简，我们为什么不从一开始就学习拉格朗日力学，而是学习牛顿经典力学呢？这是因为拉格朗日力学系统虽然精简，但却不容易用直观感受来理解.例如，拉格朗日函数的物理意义，欧拉-拉格朗日方程的物理意义，都不容易理解.其次，因为拉格朗日力学系统中有一些难以通过严格推导、也难以用实验直接验证的地方.例如，在证明牛顿第二运动定律的时候，假设拉格朗日函数中表示自由质点之间的互相影响的函数取负号，就很难用理论推导来证明，并且也难以用实验来直接验证.这就不如可以很容易地设计实验来验证的牛顿经典力学体系.
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