描述系统中的N个点的位置信息需要3 N个坐标，当增加约束时，这个系统的自由度便会降低.自由度是指能够完全描述某一物理系统状态的相互独立的最少变量个数.当增加某些约束条件时，会使其中某些变量不再相互独立，导致自由度降低.为了研究问题方便，下面要引进广义坐标系统.
除此之外，根据费马最小时间原理，还可以推导出光传播的其他规律——光的直线传播定律、反射定律等，包含了几何光学的主要内容.
例5（最速降线问题） 伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题——一个质点在重力作用下从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，沿什么曲线滑下所需时间最短？
伽利略错误地认为这曲线是个圆.瑞士数学家约翰·伯努利（J.Bernoulli，1667—1748）在1696年再次提出这个最速降线问题，次年已有多位数学家得到正确答案，包括牛顿、莱布尼兹、洛必达（L’Hôspital，1661—1704）以及雅可比·伯努利（J.Bernoulli，1654—1705）与约翰·伯努利兄弟.其中，牛顿、莱布尼兹、洛必达利用的是微积分的方法，雅可比·伯努利的方法虽然比较繁琐，但其中孕育了变分法的思想，约翰·伯努利的方法似乎缺乏理论根据但十分简明易懂.
以下是约翰·伯努利的处理方法.他主要利用了费马最小时间原理，将质点在重力场中的运动类比于光线在介质中的传播，得到最速降线问题中的路径所需满足的微分方程.
假设质点沿从点A滑行到点B的路径所需时间最短（图7-3（a））.从光学的原理得出
根据能量守恒定律，质点在一定高处的速度，完全由其到达该高处所损失的势能确定，而与所经过的路径无关，从而，有
由几何关系，还可以得到
将上述三式结合起来，得到
这就是最速降线所满足的常微分方程.解此微分方程，可以得到
这是旋轮线的标准方程，而最速降线问题的正确答案就是连接两点上凹的唯一一段旋轮线.1673年，惠更斯（C.Huygens，荷兰，1629—1695）证明了旋轮线是摆线（图7-3（b））.因为钟摆做一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线又称等时曲线.
雅可比·伯努利的方法则接近于现代的变分法思想.以变分法的思想，最速降线问题应该是一个求泛函极值的问题，其数学表达如下：
其中点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），这个数学问题的正确的解答也是旋轮线（倒置的摆线）.(www.xing528.com)
图7-3 最速降线问题与摆线
1756年，欧拉在论文中将变分法正式命名为“the calculus of variation”.1760年，拉格朗日引入变分的概念，在纯分析的基础上建立变分法.19世纪，数学家们关于极值条件进行了一系列的工作，使变分法这一分析学分支得到了系统而全面的发展.
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