人们很早就注意到我们生活的这个世界充满了对称性，并对之加以探究和利用，古埃及、古希腊以及古代中国，都有关于对称模式的创造物流传后世.
数学上有关对称的研究，是利用关注物体的变换来进行的，变换的例子有物体的平移、旋转、镜像反射、伸长或收缩等.数学上称非空集合A到自身的一个变换就是集合A到自身的某种映射.某一图形的对称是一种使图形保持不变的变换，简单来说，对称性就是“变中有不变”.
研究对称性最重要的数学工具是群论——抽象代数的一个重要分支，群的概念在第2讲中已有详细介绍.群的发明来源于法国数学家伽罗瓦对一元n（n≥5）次代数方程是否可以根式求解问题的研究.早在古巴比伦时期，一元一次和二次方程求根问题就已经解决，并有一元二次方程的求根公式.16世纪意大利的数学家给出了一元三次方程和四次方程的求根公式.但是，此后人们在长达300多年内寻求高于四次方程的求根公式均以失败告终.至19世纪上半叶，“求代数方程的根”一直是古典代数学的中心问题，直到伽罗瓦证明了：一元n次代数方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为可解群.作为这个结果的一个推论是：对应于一般形式的n次代数方程的伽罗瓦群，只有当n=1，2，3，4时才是可解群.因此，五次及五次以上代数方程不存在求根公式.
所谓伽罗瓦群是指由方程的根的置换群中保持方程根的、以“基本域”中的元素为系数的、全部代数关系不变的置换构成的子群.伽罗瓦的推理可简述如下：他发现一个方程是否根式可解，取决于方程式的对称性.这种对称性是高度抽象的概念，属于代数的对称模式，并非几何上的可见模式.例如，考虑方程
对任何图形而言，图形的对称群是保持图形不变的所有变换的全体.这个对称群中的任一个变换，会使得图形无论是在形状上还是位置上和之前看起来完全相同.
图7-1 伽罗华
促进群论发展的另外一个主要的外部力量，当属1872年，德国数学家克莱因（F.C.Klein，1849—1925）在埃尔朗根大学的就职演说中提出了著名的“埃尔朗根纲领”，将19世纪及之前的几何学概括为“研究在某种变换群下保持不变性质和不变量的学科”.例如，欧氏几何研究的是在刚体变换下（平移、旋转、镜面反射以及相似性）保持不变性质的几何学，其变换群是正交矩阵群；仿射几何研究的是在仿射变换下保持不变性质的几何学，其变换群是一般线性群.(www.xing528.com)
例1（平面上的刚体变换） 平面上的一点（x，y）经过平移和旋转的刚体变换到另一点（x′，y′），则有如下的对应关系
例2（平面上的仿射变换） 平面上的一点（x，y）经过仿射变换到另一点（x′，y′），则有如下的对应关系
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