尽管导数和积分起源于完全不同的时代、完全不同的国家，有着表面看起来完全不同的数学形式，但二者之间却存在一种重要的联系.经过漫长的近2 000年的时间，牛顿和莱布尼兹发现了这个神奇的纽带——微积分基本定理.微积分基本定理一般有微分和积分两种形式.
（1）微分形式：若f（x）在［a，b］上连续，则变上限定积分
是f（x）在［a，b］上的一个原函数，即
（2）积分形式：设f（x）在［a，b］上连续，且F（x）是f（x）在［a，b］上的一个原函数，则
微积分基本定理的积分形式更为常用，其中的公式即为著名的牛顿-莱布尼兹公式.
微积分基本定理到底阐述了什么，为什么它如此有用？这是一个值得探讨的问题.我们知道，变化率非恒定的情形在现实世界比比皆是，星体在椭圆轨道上的运行速度是变化的，人体内的生物钟也是时快时慢的，涨潮落潮、洋流运动都不是匀速的，对于这些速率非恒定的变化，只有微积分才能简洁而有效地度量出它们累积下来的总体效果.在古希腊阿基米德之后近2 000年的时间里，度量变速变化的总体累积效果只有一个办法：把整体分割成无数的小块，每块假定速率恒定，然后一块块加总，无限加总是一件非常困难的事情.微积分基本定理产生以后，这类问题变得容易求解了.因此，可以说微积分基本定理的好处是它极大地提高了计算的效率.
下面看一个例子：阿基米德曾借助圆柱和圆锥的体积（他那个时代已知的结果），利用杠杆原理及微元法求球的体积.
设球的直径为D，杠杆左右是不计厚度的薄片（称为不可分量），因为（πxD）D=（πD2）x，可设杠杆左边是正方形薄片，面积是πxD，右边是圆形薄片，面积是πD2（图6-1）；用两个面积分别是πx2，πx（D-x）的圆形薄片代替左边的正方形薄片，而重量之和保持不变（图6-2），最后令x从0增加到D，左边的两个圆薄片分别扩张成为直径为D的球和一个底圆半径和高均为D的正圆锥体.右边令x从0增加到D，就得到一个底圆半径和高均为D的正圆柱.
图6-1 推导球体积公式（1）
图6-2 推导球体积公式（2）
得到球的体积(www.xing528.com)
17世纪微积分创立后，它就成为了研究“变化”的数学，许多曾在常量数字中无法回答的问题通过微积分得到了有效的解决.而我们生活的世界是运动变化的，利用微积分，不但可以研究行星的运动规律，还可以进行气象预测，将电学与磁学联系起来，描述传染病的传播，预测股票行市……德国数学家黎曼曾说：“只有在微积分发明之后，物理学才成为一门科学.”所以微积分被称为“宇宙的数学”也就不足为怪了.同时，微积分中蕴含了丰富的思想方法，对培养人的理性主义探索精神，建立正确的世界观、科学的方法论大有裨益.
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