函数、极限——微积分修炼的利器

1.1.1　函数

数学中出现的最重要的一类关系就是函数关系.函数概念的产生和发展至今已有300多年历史，其演变过程，是人们在对客观世界深入了解的基础上，为适应新的需要而不断地挖掘、丰富和精确刻画其内涵的历史过程.

通常在某一个具体的讨论中，我们需要确定一个固定的集合，并且一切讨论仅仅关于它来进行，这时，这个固定的集合称为论域，微积分的论域为实数集R.

在微积分的理论研究与实际应用中，人们总结出六类常用的最基本的函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，称为基本初等函数.六类基本初等函数以及由这些函数经过有限次四则运算与（或）有限次复合而得到的、并且可以用一个解析式子表示的函数，称为初等函数.一切不是初等函数的函数称为非初等函数.

初等函数是微积分研究的一类主要函数，初等函数有一些良好的性质.例如：初等函数在各自有定义的区间内连续，初等函数的导数（在其可导的范围）仍然是初等函数，初等函数在其有定义的区间上存在原函数等.另外，初等函数除了解析表达式外，还可以在一定条件下用无穷级数表示，而且非初等函数也可以用初等函数做逼近.

一般地，两个非空集合A与B之间存在着某种对应法则f，且对于A中的每一个元素x，按照对应法则f，B中总有唯一确定的一个元素y与之对应，则称f为从A到B的映射，记作f：A→B.x称为y关于映射f的原象，y称为元素x在映射f下的象，记作y=f（x）.集合A称为映射f的定义域，集合A中所有元素的象的集合称为映射f的值域，记作f（A）.

微积分中讨论的函数是定义域和值域都在实数集内的映射.映射（有时也称算子）是函数概念在一般意义下的推广，例如，实变函数是定义在实数集上的映射，复变函数是定义在复数集上的映射，泛函是函数空间的集合到数集的映射等.

1.1.2　极限——微积分的研究工具

极限有定性描述的定义，也有定量描述的定义.因为定性描述的语言含糊、不确切，因此需要严谨的定量描述，没有定量描述的定义，就不能发展极限理论，微积分的基础也无从谈起.(www.xing528.com)

数学史上著名的“第二次数学危机”，是对“无穷小量到底是不是零？”的回答而产生的悖论导致，其原因在于当时的极限理论基础尚未严格建立起来.

牛顿在1704年发表了《曲线的求积》一文，其中他确定了x3的导数.牛顿称变量为“流量”，称流量的微小改变量为“瞬”，即“无穷小量”，变量的变化率称为“流数”.

下面以求函数y=x3的导数为例，说明牛顿的流数法.设流量x有一改变量“瞬”，牛顿以拉丁字母“ο”记之，相应的，y便从x3变为（x+ο）3，则y的改变量为

求比值

再舍弃有因数ο的项，于是得到y=x3的流数为3x2.

牛顿认为他引入的无穷小量“ο”是一个非零的增量，但又承认被“ο”所乘的那些项可以看作没有.先认为“ο”不是数0，求出y的变化率后又认为“ο”是数0，这违背了逻辑学中的排中律.这个推导中关于“无穷小量”，到底是不是数“0”或者究竟是什么，说不清楚！整个推导充满了逻辑上的混乱.

19世纪，在微积分严格化的进程中，经过大量数学家的努力，特别是法国数学家柯西（A.L.Cauchy，1789—1857）和德国数学家魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，1815—1897），才有了今天我们在任何一本微积分的教科书上都能看到和大学都学习的数列极限、函数极限定量描述的“ε-N”“ε-δ”等语言，确切严谨的极限理论彻底解决了第二次数学危机，微积分得以建立在坚实的基础之上.

微积分中最基本的概念——导数、定积分，都是一种特殊形式的极限，极限因此成为微积分最重要的研究工具.