当我们知道火星绕太阳公转的周期是1.88年（686.67天）之后，就可以想办法确定火星的公转轨道.
首先做以下两个假设
（1）由于火星的公转平面与黄道面的夹角很小（1.85°），近似地认为火星就在黄道面上公转.
（2）近似地认为地球的公转轨道是圆，半径记为1（AU）.
然后，由于太阳是不动的，且地球绕太阳的公转半径近似认为不变，则从地球到太阳的一次观测即可确定当前时刻地球的位置.
但从地球到火星的一次观测中，我们只能得到火星与地球的角度关系.沿此角度从地球发出一条射线，火星可能在射线上的任何一点，因此需要从不同位置对火星进行至少两次观测，才能确定火星的位置.
一段时间后，地球位置改变时，火星的位置也会发生变化.不过只要想到火星的公转是周期运动，那经过一火星年（1.88年）之后，火星会回到同一位置，而地球的位置一定发生了变化.我们只需要在一火星年后对火星进行第二次观测，结合两次观测的数据，通过计算就可以确定火星的位置，也就是确定了火星公转轨道上的一点.
举例来说，图5-19中，在1585年2月17日，从地球E1所见，太阳在黄经339.38°，而火星在黄经135.20°.经过一火星年之后，1587年1月5日，从地球E2所见，太阳在黄经295.37°，而火星在黄经182.13°.以上数据就是计算火星相对于太阳位置所需的原始数据.不难计算
图5-19
设α1=∠SME1，α2=∠SME2，则
已知E1S=E2S=1（AU），设太阳和火星的连线SM的长度为d，利用正弦定理计算d：
在ΔM E1S中，
在ΔM E2S中，
两式相比，得
代入具体角度，
利用差角公式，得
解得α2=32.91°，以此求得
即火星到太阳的距离为1.69（AU）.同时
也就是说，此时从太阳看，火星的黄经为149.22°.
我们可以通过以上方法，不断地观测数据，计算出不同时刻火星相对于太阳的位置，同时以太阳为原点建立一个平面极坐标系，将这些位置对应到坐标系中的点.可以想象，如果得到点足够多，就可以通过描点近似得到火星公转的轨道形状是一条卵形的曲线.我们大胆猜测，这条曲线就是——一个椭圆，而太阳就在这个椭圆的一个焦点上.如果以这一发现检验火星和其他行星的运动轨迹，我们就会发现与观测事实惊人的相符.宇宙的奥秘自此终于被揭开了一角.
伟大的天文学家开普勒正是用以上方法第一次“猜”出并验证了“行星绕太阳的运动轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处”这一天文学发现，被称为“开普勒第一定律”（简称“椭圆律”）.
开普勒发现椭圆律使用的原始数据源于他的老师第谷穷尽一生的观测积累.从哥白尼的行星绕日，到第谷的天文大数据，再到开普勒的三角量天，天文学完成了一次伟大的接力.
开普勒发现椭圆律的真实过程并不像我们展示的这样顺利.在开普勒的时代，数学还并不像今天这样发达，通过三角函数公式进行计算是一件非常困难的事.这就使得开普勒一开始并不能在极坐标系中描绘出足够多的点.事实上在他发现椭圆律之前，先有了另一个重大的发现“从太阳到行星的连线在相等的时间内所扫过的面积相等”称为“开普勒第二定律”（简称“面积律”）.(www.xing528.com)
下面以火星为例说明面积律的发现过程.
如图5-20所示，设火星在t时间内由M运动到M′，转过的角度为θ，如果θ比较小，火星到太阳的距离改变不大，可以近似地认为MS=M′S=r，则MSM′是一个扇形.太阳到火星连线在t时间内扫过的面积，就是扇形MSM′的面积.设弧MM′的长度为l，有
图5-20
由此，若面积律成立，则S扇形MSM′只与时间t成正比，就等价于
就得到
在有了椭圆律之后，结合行星的公转周期，以开普勒敏锐的天文学直觉，发现“开普勒第三定律”（简称“周期律”）——“行星绕太阳的周期的平方与行星绕太阳的椭圆轨道的半长轴的三次方成正比”就只是时间问题了.
开普勒的发现也给我们留下了一个问题：是什么原因使得行星绕日满足三大定律.在下一讲中，这个问题将由提出万有引力定律的科学巨人牛顿来回答.
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