几何变换改为平面点变换及正交变换-数学宇宙语言

设平面П上的点的全体为集合S.S到自身的一个映射称为平面П的一个点变换.若σ为平面的一个点变换，点P为平面中任意一点，点σ（P）称为P在σ下的像.在平面上建立一个直角坐标系，若点变换前点P的坐标为（x，y），点变换后点σ（P）的坐标为（x′，y′），且满足如下关系式

则称σ为平面的一个正交变换.

需要注意的是，点变换是在同一坐标系下进行的，将一个点对应到另一个点.而坐标变换是在不同坐标系下，对同一个点给出不同坐标.两者公式相近，但有本质区别.

考虑向量在正交变换下的性质，对平面中任意一个向量a，设a的坐标为（a1，a2），a在σ的变换下的像σ（a）的坐标为（b1，b2），则

因为M是正交阵，由上式可验证，正交变换保持向量的内积，从而保持向量的角度和长度.也就是对平面中任意两个向量a和b，有

接下来在仿射坐标系中讨论点变换.仍设σ为平面的一个点变换，点P为平面中任意一点，点σ（P）为P在σ下的像.设在一个仿射坐标系中点P的坐标为（x，y），点σ（P）的坐标为（x′，y′），若满足

与正交变换的情形类似.设σ为平面的一个仿射变换，系数矩阵

设向量a的坐标为（a1，a2），a在σ的变换下的像σ（a）的坐标为（c1，c2），则同样有

设向量b的坐标为（b1，b2），σ（b）的坐标为（d1，d2），则

若a与b共线，也就是存在实数k，使得（a1，a2）=k（b1，b2），则有

得到σ（a）=kσ（b）.这说明仿射变换保持共线的位置关系，且保持共线三点间长度的比例关系.同理可验证仿射变换也保持平行、相交等位置关系.

最后，我们给出一个仿射变换的应用.

若向量a与b不共线，考虑以a与b为邻边的平行四边形的面积在σ下的变化.设a，b的坐标分别为（a1，a2）和（b1，b2），已知a与b的外积满足

其中e1，e2为坐标系的基.由仿射变换公式知，σ（a）和σ（b）的外积满足以下公式(www.xing528.com)

则σ（a）与σ（b）的外积的绝对值比上a与b的外积的绝对值，就等于系数矩阵M的行列式

由于任意有面积的几何图形的都可以近似地分割成无数小的平行四边形的拼合，所以有以下结论.

上式称为仿射变换的变积公式.

下面利用变积公式，推导出椭圆的面积公式.

为方便起见，在平面上建立一个直角坐标系.已知椭圆的标准方程为

作仿射变换σ：

则椭圆方程化为

这是一个圆的方程，容易求得圆的面积为πa2.设椭圆的面积为S，由变积公式知

所以椭圆的面积为