坐标变换：简化图形方程的关键步骤

如果一个图形的方程在给定的坐标系中比较复杂，可以选择另一个坐标系，考虑图形在另一个坐标系的方程，希望达到简化方程的目的.为此就需要研究同一个点在不同坐标系中的坐标.

可表达为如下的矩阵形式

图4-14

由此可知，（x，y）与（x′，y′）的关系式.因为点P在第一个坐标系下的坐标为（x，y），有

继续化简成如下矩阵形式

若第一个坐标系和第二个坐标系都是直角坐标系，相应的将仿射坐标变换公式称为直角坐标变换公式.

下面以二次曲线的化简为例，来介绍坐标变换的应用.

设在一平面直角坐标系中，有一条二次曲线的方程比较复杂.我们希望选取一个适当的坐标系，也就是确定一个坐标变换，使得这一条二次曲线在新坐标系下的方程足够简单，这个过程就是二次曲线的化简.

设二次曲线的方程为

我们将要做的坐标变换看成是两次坐标变换的复合，相应的直角坐标变换公式如下

第一次变换的效果是保持第一个坐标系的坐标轴方向不变，将第一个坐标系的坐标原点移动到第二个坐标系的坐标原点位置，其中第二个坐标系的坐标原点在第一个坐标系中的坐标为（x0，y0）.第二次变换保持坐标原点不动，将第一个坐标系的坐标轴方向变化到与第二个坐标系的坐标轴方向一致.至于两次坐标变换所需要的过渡矩阵和原点坐标该如何得到，还需要更多的代数知识，这里不再赘述了.

接下来，举例具体说明二次曲线方程是如何被化简的.对于如下二次方程

先作第一次变换，变换公式如下

再作第二次变换，变换公式如下

进一步化成标准形式

显然，这是一个椭圆的标准方程.因此，原方程对应的曲线为椭圆.