圆锥曲线的方程——数学宇宙的语言

当平面上确定坐标系后，如果一个方程

与一条曲线C满足如下关系：

（1）方程的任意一组解（x，y）一定是曲线C上的一个点的坐标；

（2）曲线C上任何一个点的坐标（x，y）都满足方程.则称F（x，y）=0为这条曲线的方程.

例如，在平面直角坐标系中求一个以坐标（a，b）的点为圆心，以R为半径的圆的方程：

根据圆的定义，点P在圆上的充要条件是P到圆心的距离为R.设P的坐标为（x，y），由平面直角坐标系的两点距离公式知，

化简得圆在此直角坐标系下的方程：

早在古希腊时期，人们就在研究圆锥曲线.那时的几何学家发现，如果用不同角度的平面去截圆锥，能够得到三种类型的截线：椭圆、双曲线和抛物线（图4-12）.

先考虑椭圆（图4-13）.以平面斜截一个正圆锥，然后从上下方各塞入一个球面Σ1与Σ2，使两者与圆锥面相切且分别与斜截面Π相切于F1与F2.对椭圆上的任意一点P，作过圆锥顶点O和P的直线，分别交Σ1与Σ2于Q1与Q2.容易看出，OP分别与球面Σ1，Σ2相切于Q1，Q2.

图4-12

图4-13

已知球外一点到球面的切线长相等，有

进而有

也就是说，椭圆上任意一点P，到F1与F2的距离，等于Q1Q2，因为线段Q1Q2的长度是定值，由此得到椭圆的特征性质：

椭圆上任意一点到两定点的距离之和是定值.

同样，利用塞球法，可以得到双曲线的特征性质：

双曲线上任意一点到两定点的距离之差的绝对值是定值.(www.xing528.com)

以及抛物线的特征性质：

抛物线上任意一点到一定点的距离等于到一定直线的距离.

在一个平面直角坐标系中，设椭圆焦点的坐标为（-c，0），（c，0），点P为椭圆上任意一点，坐标为（x，y），椭圆上任意一点到两定点的距离之和是定值2a，则由距离公式，得

化简得

令b2=a2-c2，则得到椭圆方程的标准形式

类似地，可以得到双曲线和抛物线的方程.