向量编码与坐标-数学解析

本节将建立空间中的仿射坐标系与直角坐标系，使得空间中的任意一个向量，在固定的一个坐标系下，有唯一的坐标.

空间中任意三个不共面的向量e1，e2，e3称为空间中的一组基.空间中的全部向量都可以由不共面的三个向量唯一表示，也就是对空间中的任意一个向量a，存在唯一的一组系数a1，a2，a3，使得

三元实数组（a1，a2，a3）称为向量a在基e1，e2，e3下的坐标.如此，在基确定的情况下，向量就与其坐标唯一对应.

容易验证，向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标.

在空间中确定了一个仿射坐标系后，空间中的全体向量就与全部有序三元实数组一一对应，也与空间中的全部点一一对应.

对仿射坐标系［O；e1，e2，e3］，若基向量e1，e2，e3两两垂直且都为单位向量，则此坐标系称为直角坐标系.

坐标作为一个三元数组，是与代数相关的概念，则可以考虑将向量的运算以及向量性质的讨论，都转化成以代数的方式进行.

建立一个仿射坐标系［O；e1，e2，e3］，设向量a，b的坐标分别为（a1，a2，a3）和（b1，b2，b3），则根据向量坐标的定义，

因此，a+b的坐标为(www.xing528.com)

也就是向量和的坐标等于坐标的和.

类似的，对任意实数k，有

因此，ka的坐标为

也就是向量作数乘运算后的坐标等于数乘上原坐标.

例如，设在一坐标系下，向量a的坐标为（1，2，3），向量b的坐标为（1，0，1），则向量a+2b的坐标为向量a的坐标加上两倍的向量b的坐标，等于（3，2，5）.

利用坐标化的思想，可以类似地建立平面上的仿射坐标系与直角坐标系.