数学：几何与代数的桥梁——向量探索

向量是指有大小有方向的量.比如重力、速度、电场强度和磁场强度等.因此，向量作为一个抽象的数学概念，具有非常广泛的实际意义.

如何表示一个向量呢？

图4-1

图4-2

我们也可以固定向量的起点，仅依靠向量的终点来区分向量.如果将两个相等向量的起点固定在同一点，那么这两个向量的终点一定也是重合的，反之，如果将两个不相等向量的起点固定在同一点，那么这两个向量的终点一定是不重合的.所以对任一向量a作平移，使a的起点与一固定点O重合，则平移后的向量终点Ta与a一一对应（图4-3）.

长度为0的向量称为零向量，也记作0.零向量的方向是不定的.任意方向上长度为1的向量称为此方向的单位向量.对任意向量a，称与a长度相等但方向相反的向量为a的反向量，记为-a.

图4-3

在对向量有了初步认识之后，我们开始将几何上的向量代数化.考虑向量在几何中的本质属性，可以给出两种基本的代数运算，分别是向量的加法与向量的数乘，统称为向量的线性运算.

图4-4

通过三角形法则可以验证，向量的合成也满足平行四边形法则（图4-4）.

平行四边形法则在代数上表现为向量加法的交换律：对任意两个向量a和b，有

若两个向量作为有向线段是平行的，则称这两个向量是共线的.向量共线这个几何概念，可以通过向量数乘给出代数上的描述.

命题2 向量a和非零向量b是共线的等价于存在实数k，使得a=kb.(www.xing528.com)