20世纪初，康托尔创立的集合论逐渐成为大部分数学的普遍构架.因为全部数学概念可以应用集合论建立，例如，群、实数域、拓扑空间、向量空间等都被定义成在其上执行某些运算（例如各种“加法”或“乘法”运算）的对象的集合.几何学里原有的概念，如直线、圆、三角形、平面、立方体等，则被赋予新的“符合各种情况的点集”这样的定义.集合论看起来简单，却极为有力，数学家甚至利用集合论回答了最根本的问题：数到底是什么？他们说明了实数可以用有理数来描述，有理数可以用整数来描述，整数可以用自然数来描述，自然数则可以用集合来描述.这样，集合就成为了整个数学的基础.
集合论使得数学家们看到了数学基础的曙光，1900年在巴黎的第二届国际数学家大会上，庞加莱宣称：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到了！”然而两年过后，1902年，英国数学家、哲学家、数理逻辑学家罗素（B.Russell，1872—1970）在集合论中发现了悖论！这一发现令数学界为之震惊.
罗素的想法是：任何集合都可以考虑它是否属于自身的问题，有些集合不属于它自身，而有些集合属于它本身.一个集合或者不是它本身的成员（元素），或者是它本身的成员（元素），两者必居其一.罗素把前者称为“正常集合”，把后者称为“异常集合”.以简洁的数学符号和逻辑来说明罗素悖论，则可以表述如下：
以S=｛x｜x是集合，且x∉x｝表示“一切不以自身为元素的集合所组成的集合”（所有正常集合的集合）.问：集合S是否属于自己？如果S∈S，则由S的定义应有S∉S；如果S∉S，则由S的定义又应有S∈S，无论哪一种情况，利用集合的概念，都可以导出——S∈S当且仅当S∉S的悖论.
1911年，罗素还将这一悖论通俗化为著名的“理发师悖论”：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸.那么现在的问题是：理发师是否给自己刮脸？
罗素悖论的内容简单，只涉及集合论中最基本的概念，因此它的出现引起的震动是空前的，令许多数学家对数学基础的脆弱感到沮丧失望，导致了数学史上“第三次数学危机”.危机出现以后，许多数学家致力于消除悖论.他们想到将康托尔“朴素集合论”加以公理化，用公理规定构造集合的原则，例如，不允许出现“所有集合的集合”“一切属于自身的集合”这样的集合.1908年，德国数学家策梅洛（E.Zermelo，1871—1953）提出了由7条公理组成的第一个集合论公理系统，称为Z系统.1921—1923年，德国数学家弗兰克尔（A.A.Fraenkel，1891—1965）对该系统做了改进，并用逻辑符号将公理表示出来，形成了集合论的ZF系统.这个系统的法则能推导数学所需要的各种集合，并且绕过了产生罗素悖论的可能性.这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，罗素悖论消除了，第三次数学危机似乎解决了.但是数学家们并不满意，因为ZF系统的相容性尚未证明.正如庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼.”
在罗素悖论出来后的30年，出现了一个同样令数学界震惊的发现，那就是关于数学公理化的“三性”问题引发的“不完全性定理”.1931年，年轻的数理逻辑学家哥德尔在《数学物理月刊》发表了他最重要的论文《论〈数学原理〉和有关系统中的形式不可判定命题》，其中主要证明了下面两个定理：(www.xing528.com)
哥德尔第一不完全性定理：任一包含自然数算术的形式系统S，如果是相容的，则一定是不完全的（即存在一个不可判定命题P，使P与P的否定在S中皆不可证）.
这一定理表明，任何形式系统都不能完全刻画数学理论，总有某个命题不能从系统的公理出发而得到证明.
哥德尔第二不完全性定理：对于包含自然数系的任何相容的形式体系S，S的相容性不能在S内被证明.
这一定理表明，即使一个数学系统本身是相容的，但其相容性在该系统的内部也无法证明.
哥德尔的两条定理表明：任何一个数学分支都做不到完全的公理推演，而且没有一个数学分支能保证自己没有内部矛盾.这将数学放在了一个尴尬的境地，正如德国数学家外尔（H.Weyl，1885—1955）所说：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性.”哥德尔的工作有力表明，公理化方法与数学证明并非一回事，数学中的“真”与“可证”是两个不同的概念，可证明的命题固然是真的，但真的命题却未必是可形式证明的.人的创造性不是任何一个公理系统可以全部包含的，哥德尔不完全性定理本身就是一个范例，哥德尔的工作影响深远，永远改变了人们对数学的看法.
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