公理化方法的发展大致经历了三个阶段.
《几何原本》表现的公理化方法被称为“实体公理化方法”，因为在这样的公理系统中，概念直接反映着数学实体的性质，而且其中的概念、公理和推理论证过程往往基于直觉观念的指导.
第二阶段 希尔伯特的《几何基础》——形式公理化阶段
1899年，德国数学家希尔伯特（D.Hilbert，1862—1943）出版了公理化思想的代表之作《几何基础》，把欧几里得几何学加以整理，摆脱了直观成分，奠定了对一系列几何对象及其关系进行更高一级抽象的基础，不仅完善了欧几里得几何的公理系统（一个公理的集合），而且解决了公理化方法的一系列逻辑推理的问题，提出公理选择的“三性”：
（1）相容性：在一个公理系统中，不允许同时能证明某一定理及其否定理.
（2）独立性：在一个公理系统中的每一条公理都独立存在，不允许有一条公理能用其他公理将其推导出来.(www.xing528.com)
（3）完全性：要从公理系统中能推出所研究数学分支的全部命题.
希尔伯特的几何公理化方法使人们可以在高度抽象的意义下给出公理系统，只要能满足系统中的各公理的要求，就可以使这个公理系统所涉及的对象是任何事物；并且在公理中表述事物或对象之间的关系时，也可以具有其具体意义的任意性.《几何基础》一书成为“形式公理化方法”的奠基著作.
图3-5 希尔伯特（左）、哥德尔（右）
第三阶段 ZF公理化集合论——纯形式公理化阶段
19世纪末康托尔创立的无穷集合论给数学带来了全新的平台.1920年代初，希尔伯特提出了论证数论、集合论或数学分析的一致性的方案——希尔伯特纲领.他建议从若干公理出发将数学形式化为符号语言系统，并从不假定实无穷的有穷观点出发，建立相应的逻辑系统，进而研究这个形式语言系统的逻辑性质，从而创立了元数学和证明论，这场轰轰烈烈的公理化运动将公理化方法推向一个新的阶段——纯形式公理化阶段.
在本讲的3.3节，我们将看到罗素悖论（也称集合论悖论）出现后，引发了第三次数学危机.为消除罗素悖论，经过许多数学家的努力，形成了现代数学中标准的公理化集合论，即ZF纯形式公理化集合论.遗憾的是，后来美籍奥地利数理逻辑学家哥德尔（K.Gödel，1906—1978）证明了形式数论（即算术逻辑）系统的“不完全性定理”，说明没有一个相容的公理系统是完备的以及系统的相容性是无法证明的，这标志了希尔伯特纲领的结束.
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