1826年俄国数学家罗巴切夫斯基（N.I.Lobachevsky，1792—1856），1832年匈牙利数学家鲍耶（J.Bolyai，1802—1860）通过各自独立工作，否定平行公设，将之修改为：过直线外一点，至少能作两条直线与已知直线平行.推出了一个又一个新奇的结论后仍找不到逻辑上的矛盾，这些新的结论构成了一个不同欧氏几何的几何体系，后来被称为罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）.
1854年，德国数学家黎曼（B.Riemann，1826—1866）将平行公设修改为：过直线外一点，不能作与已知直线相平行的直线.这个修改也推出了一系列新奇的无逻辑上矛盾的结论，这些新的结论构成的几何体系，后来被称为黎曼几何.
现在有了三种几何，既然三种几何的根本差别在于平行公设，故凡是与平行公设无关的欧氏几何的定理在三种几何中均成立，凡是与平行公设有关的欧氏几何的定理在其他两种几何中都不再成立.例如，关于三角形的内角和，欧氏几何的结论是：三角形内角和等于180°；罗氏几何的结论是：三角形的内角和小于180°；黎曼几何的结论则是：三角形的内角和大于180°.再如，在一直角三角形中，若a，b表示两直角边，用c表示斜边，关于勾股定理，欧氏几何的结论是：a2+b2=c2；罗氏几何的结论是：a2+b2＜c2；黎曼几何的结论是：a2+b2＞c2.
罗氏几何与黎曼几何统称为非欧几何.非欧几何的出现，是19世纪数学发展的一个重大突破.在这之前，所有的数学家都认为欧氏几何是物质空间和此空间内图形性质的唯一正确描述.
非欧几何中的一系列命题都和人们的直觉不相符合，因此在它创立之初曾一度被严重质疑和冷嘲热讽，那么非欧几何能否找到现实的应用，其命题是否具有合理性？自其诞生之初，这些就成为围绕新几何学展开讨论的核心问题.1868年，意大利数学家贝尔特拉米（E.Beltrami，1835—1899）发表了非欧几何发展史上里程碑式的论文《论非欧几何学的实际解释》，通过构造模型给出了两种几何的解释，但贝尔特拉米提供的模型较复杂，不易被人理解和接受.其后，德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等先后在欧氏空间中给出了非欧几何的直观模型.他们的结论是：若非欧几何中存在矛盾，这种矛盾也将在欧氏几何中出现，由于普遍承认欧氏几何是真的，所以非欧几何也有了可靠的基础.这就是说，背离直觉的非欧几何学在逻辑系统内没有矛盾，也具有演绎论证的严格性.该解释从理论上消除了人们对非欧几何的误解，逐渐使之获得广泛认可.(www.xing528.com)
现在普遍接受的看法是：欧氏几何是能在平面上实现的抛物几何，非欧几何是球面上的几何学，黎曼几何是能在球面上实现的椭圆几何，罗氏几何是能在伪球面上实现的双曲几何.如果将球面上的大圆（也称为测地线）视为直线，则球面上的几何就表现为黎曼几何，在这种几何中任何两条直线都相交，且交于两个交点.如此，黎曼几何的每一条定理都能在球面上得到合理的解释了，三角形的内角和大于180°也容易证明.罗氏几何能在伪球面上实现.所谓伪球面是指由一条曳物线绕一条固定的轴旋转成的旋转曲面.通俗的解释是：假设有一个人M牵着一条狗A，其间距离（绳子长）为a，人M沿着一条直线MN行走，而狗A随时随地朝着它主人M方向沿着一条曲线AB保持AM=a的定长距离在行走，则线AB就是曳物线，它绕MN旋转而形成的曲面就是伪球面.在伪球面上两点之间的“直线”是指测地线，即两点之间的最短连线.
图3-4 曳物线与伪球面
随着社会的进步和科学研究水平的发展，人们已经认识到欧氏几何不再是在经验能够证实的范围内描述物质空间的唯一正确的几何，非欧几何开拓了“空间”的概念.最著名的例子就是1915年爱因斯坦创立“广义相对论”，以黎曼几何为工具刻画了广义相对论中的物理空间；而1947年，心理学的研究发现罗氏几何可以用来描述视觉空间（一种从正常的有双目视觉的人心理上观察到的空间）.
非欧几何的影响是巨大的，它一方面摧毁了人们长久建立起来的欧氏几何是绝对真理的信念，深刻揭示了数学的本质问题；另一方面，它为数学提供了一个摒弃实用性，采用抽象与逻辑思维的智慧创造的自由天地.至于使用哪种非欧几何，要看人们对于宇宙理论的选择.若假设宇宙的膨胀某一天会停止并开始收缩，则黎曼几何是合适的工具；若认为宇宙是会无尽的膨胀，则罗氏几何更确切.正如美国数学史家M·克莱因（M.Kline，1908—1992）所说“非欧几何的最重要影响是迫使数学家们从根本上改变对数学的性质的理解，以及它和物质世界的关系的理解，并引出关于数学基础的许多问题，这些问题在20世纪仍然在进行着争论.”
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