《几何原本》的第五公设从一开始就受到人们的怀疑，因为它缺乏其他公理和公设的直观性、明显性，兼文字的冗长，还含有直线可以无限延长的含义，古希腊人对无限基本采取一种排斥的态度，并且欧几里得本人对第五公设的应用也表现得很犹豫，尽量避免使用它，直到第一卷的命题29才第一次用到第五公设.因此，在《几何原本》问世的2 000多年中，不少人试图去修正第五公设，认为可由其余公理和公设所证出，或用更简单、更直观的公设来代替.
经过无数次失败的尝试，直到19世纪初，数学家才开始意识到第五公设是不可证明的，唯一的办法就是要么承认它，要么重新构筑一个体系.在富有科学想象力的众多数学家的努力下，后一种思路导致了非欧几何的诞生.
早在1795年，英国的数学家、物理学家普莱费尔（Playfair，J.，1748—1819）提出了一条与第五公设等价的命题，它的直观明显性比第五公设好，通常称之为平行公设：在平面内过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
命题 欧氏几何的第五公设等价于平行公设.
证明 由第五公设推导平行公设.
存在性显然，只证明唯一性.采用反证法，如图3-3（a）所示，若存在两条不同的直线b和d，b∥c，d∥c，选择直线b，使得∠1+∠2=180°，由于b和d不同，从而∠2≠∠3，因此，∠1+∠3≠180°，从而直线d，c不平行，矛盾.(www.xing528.com)
图3-3 证明第五公设与平行公设等价
由平行公设推导第五公设.
采用反证法，如图3-3（b）所示，若直线b和c不相交，则b∥c，过点A作d∥c，则∠1+∠2=180°，∠3+∠2＜180°，从而∠1≠∠3，因此b和d为不同的直线，此为矛盾.
否定平行公设（即否定第五公设）而构筑一个新体系的创新思想引出了两种几何：罗巴切夫斯基几何与黎曼几何，平行公设成为三种几何的分水岭.
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