有了23个定义、5条公理和5条公设这些准备，《几何原本》中第一卷证明的第一个命题如下.
例1 在一条已知的有限直线上，可以作一等边三角形.
证明 先作已知直线AB.然后，应用公设三，以A为中心，AB为半径作第一个圆A，再以B为中心，AB为半径作第二个圆B，设圆A与圆B交于点C（图3-2）.根据公设一，连结CA、CB.下面可以证明△ABC为等边三角形.因为根据定义15，有AC=AB，BC=AB，再利用公理一，得到AB=AC=BC，因此，根据定义20，△ABC为等边三角形.
图3-2 作等边三角形
例1是一个简单的证明，只应用了两个公设、一个公理和两个定义.但这个证明有缺陷，问题出在点C上，这个点存在的证明是用图表示的，明显违背了欧几里得自己规定的演绎推理原则.即使古希腊人，不论他们对《几何原本》的评价多高，也都看出了欧几里得这一论证的逻辑缺陷——如何证明这两个圆一定相交呢？他的公理公设中都没有提到这个问题.直到2 000多年后，现代几何学家通过增加“连续性公设”，弥补了这一缺陷.
微积分的基本思想是“无穷小分析”，在古希腊就是所谓的“穷竭法”.“穷竭”是无限逼近的意思，“穷竭”如果当名词讲，用现代微积分的语言就是指一个变量，它可以小于任意给定的量，本质就是极限理论中的无穷小量.《几何原本》中第十二卷的命题二（如下的例2）就是利用“穷竭法”证明的.
例2 圆与圆之比等于其直径平方之比.
证明 分如下两步.
进而得到(www.xing528.com)
（注：《几何原本》第十卷的命题一：对于两个不相等的量，如果由较大的量中减去一个大于它的一半的量，再由所得到余量中减去大于这个余量一半的量，并且连续这样进行下去，则必得到一个余量小于较小的量.）
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